¿Está mal decirle a los niños que $1/0 =$ NaN es incorrecto, y debería ser $∞$ ?

Question

Estaba en el metro y escuché a un padre interrogar a sus hijos sobre las matemáticas. Los niños tenían probablemente unos 11 o 12 años.

Tras varias preguntas más mundanas, le preguntó a su hija qué $1/0$ evaluado a. Ella afirmó que no tenía respuesta. Le preguntó quién le había dicho eso y ella dijo que su profesor. A continuación, afirmó que su profesor había "enseñado mal" y que en realidad era $$.

La declaración del padre me pareció un poco irresponsable. ¿Le parece una actitud razonable? Supongo que esta pregunta tiene que ver en parte con la moral.

Answer 1

El significado habitual de $a/b=c$ es que $a=b\cdot c$ . Ya que para $b=0$ tenemos $0\cdot x=0$ para cualquier $x$ simplemente no hay $c$ tal que $1=0\cdot c$ , a menos que tiramos las propiedades de la aritmética a la basura (es decir, añadimos nuevos elementos que no respetan las leyes como $a(x+y)=ax+ay$ ).

Así que "indefinido" o "no es un número" es la respuesta más correcta posible.

Sin embargo:

A veces es útil romper las leyes de la aritmética añadiendo nuevos elementos como " $\infty$ " e incluso definiendo $1/0=\infty$ . Depende mucho del contexto y asume que todo el mundo entiende lo que está pasando. Desde luego, no es algo que se deba plantear a los niños como una ley general de las matemáticas.

También:

Creo que el error común de " $1/0=\infty$ " proviene del Cálculo elemental, donde se cumple la siguiente igualdad: $\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x} = \infty$ . Este no puede se puede simplificar a una declaración como $\frac{1}{0}=\infty$ debido a dos problemas:

1. $\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty$ Por lo tanto, la "dirección" del límite importa; además, debido a esto, $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$ es indefinido.
2. Al escribir $\lim f(x)=\infty$ no queremos decir realmente que algo tenga el valor " $\infty$ " - en el Cálculo $\infty$ es lo que llamamos "infinito potencial" - describe una propiedad de una función (a saber, que para cada $N>0$ podemos encontrar $x_N$ tal que $f(x_N)>N$ y $x_N$ está en algún barrio específico).

Answer 2

El profesor tiene razón: $1{\color{red}/}0$ es indefinido. (si dijo "no tiene respuesta", entonces está siendo algo descuidado)

Sin embargo, el padre tiene razón: $1{\color{green}/}0 = \infty$ .

Pero además, el título es correcto: $1{\color{blue}/}0 = \mathrm{NaN}$ .

El problema es que el tema encaja en lo que creo que es una laguna importante en la educación matemática: a la gente no se le enseña nada de sintaxis y gramática matemática, por lo que no tiene la capacidad de hacer afirmaciones precisas sobre lo que quiere decir ¡o incluso de saber que es un problema!

(He añadido color para enfatizar que me refiero a tres cosas diferentes en esas tres afirmaciones).

La primera versión de la división es la que se enseña en la escuela primaria; el profesor tiene razón en ese punto. $1{\color{red}/}0$ es un error de sintaxis: $(1,0)$ no es del dominio de ${\color{red}/}$ por lo que es ilegal escribir la expresión evaluando ${\color{red}/}$ en $(1,0)$ .

La segunda versión, sin embargo, es la división de los números proyectivos. Los números proyectivos son muy útiles para fines algebraicos, e incluso para algunos fines analíticos: por ejemplo, puede ser conveniente tener $\tan$ sea de valor proyectivo, de modo que $\tan(\pi/2) = \infty$ . Sin embargo, estaba siendo un poco indulgente cuando dije que el padre tenía razón - me parece más probable que estuviera pensando en los números reales extendidos (¡pero sin saberlo por su nombre!), y simplemente cometió un error común.

La tercera versión vuelve a la división ordinaria, pero en una sintaxis/semántica basada en algo así como funciones parciales o composición de relaciones. Una descripción aproximada es que en la medida en que las funciones $\{ * \} \to \mathbb{R}$ corresponden a elementos de $\mathbb{R}$ la función parcial $\{ * \} \to \mathbb{R}$ con dominio vacío corresponde a $\mathrm{NaN}$ .

En este último punto, hay que tener en cuenta que hasta cierto punto obligamos a los alumnos a piense en en términos de esta familia de conceptos con notación como $1 \pm \sqrt{2}$ y $x^3/3 + C$ y preguntas como "¿Cuál es el dominio de $1/(1-x)$ ?". Pero, en mi opinión, estas nociones son un tanto incongruentes con lo que realmente se enseña a los estudiantes sobre las funciones.

Answer 3

La línea de los números reales puede ampliarse de múltiples maneras. Una forma es añadir un elemento, el infinito sin signo $\infty$ (esto se llama números reales extendidos proyectivos ), otra forma es añadir dos elementos, infinitos negativos y positivos $-\infty$ y $+\infty$ (esto se llama números reales afinamente extendidos ). Al pasar a los números complejos, las cosas se complican aún más, se pueden añadir infinitos complejos e infinitos correspondientes a cualquier dirección del plano complejo.

Por lo tanto, no existe una forma universalmente aceptada de extender la línea real y el plano complejo con infinitos. Por ejemplo, si sólo se añaden infinitos positivos y negativos $-\infty$ y $+\infty$ la expresión 1/0 sigue sin tener respuesta.

Afirmar que algo es igual a $\infty$ puede ser ambiguo dependiendo de si la línea real se extiende con infinito con signo o sin signo, por lo que al utilizar $\infty$ sin signo se debe especificar si se trata de un infinito sin signo o de un infinito positivo.

Hay que tener en cuenta que en el cálculo " $\infty$ " se utiliza normalmente para designar el infinito positivo, por lo que enseñar a los niños que esto significa infinito sin signo puede complicar su futura experiencia con el cálculo.

Hay que tener en cuenta que encontrar el valor de 1/0 puede considerarse como la resolución de la ecuación $\frac 1x=0$ . En ese caso caben tanto los infinitos positivos como los negativos. Así que nos encontramos con un problema similar al de la expresión $\sqrt{2}$ . Aunque hay dos números reales que elevados al cuadrado dan 2, por convención sólo se considera el positivo como valor de la expresión $\sqrt{2}$ . Pero para dividir no existe tal convención.

Answer 4

En primer lugar, algunas suposiciones
Los niños tenían 11-12 años. En el sistema escolar público de EE.UU., eso equivale al último año de la escuela primaria (6º grado) hasta quizás el 7º o incluso el 8º grado, que son la escuela media/preparatoria. La mayoría de los alumnos de 6º, 7º y 8º no están aprendiendo todavía álgebra de primer curso. Algo de teoría numérica básica (primos, enteros), así como fracciones, exponentes, raíces, probablemente reforzando cómo hacer la división larga. También, geometría muy básica, como nombres de polígonos y área de cuadriláteros y círculos. Y unidades de medida, conversión de Celsius a inglés, notación científica.

Dado ese contexto, sin conocimientos de álgebra o cálculo, sólo de teoría numérica simple, parece razonable que el profesor describiera el 1/0 como "indefinido". "No es un número" es igualmente aceptable.

Panorama general
Los maestros de escuela son licenciados en educación, con formación especializada por materias. La enseñanza no se realiza de forma aislada, sino como parte de un plan de estudios coherente. Si el profesor lo definió de esta manera concreta, es probable que forme parte de un plan de enseñanza de las matemáticas a más largo plazo que redefinirá el significado de 1/0 de manera más adecuada cuando llegue el momento, es decir, cuando el contenido que lo acompaña esté a un nivel suficientemente avanzado para que tenga un sentido intuitivo.

Consecuencias imprevistas
El padre debe tener mucho cuidado aquí, porque podría socavar la credibilidad del profesor ante sus hijos. Peor aún, sus hijos podrían dar respuestas incorrectas en los exámenes, basándose en los comentarios del padre. Esto pone a los niños en una situación incómoda a la que no deberían someterse en este momento de sus vidas. Si el padre está preocupado por la calidad de la enseñanza, debería hablar directamente con el profesor, no de la forma en que lo hizo. Al menos, no con niños que sólo tienen 11 o 12 años.

Answer 5

Esto se ha tratado ampliamente tanto en esta pregunta como en otras. Pero creo que la formulación más clara posible es la siguiente: para mí la respuesta más correcta es "NaN", Not a Number.

No está mal decir que $1/0 = \infty$ desde un punto de vista topológico (ya sea una compactación de Alexandrov, o un espacio proyectivo), y es realmente muy útil y natural en algunos contextos.

Sin embargo, como ha señalado todo el mundo, no se puede hacer coherente con las leyes aritméticas, la suma y la multiplicación. Así que "no es un número".

Dicho esto, a efectos pedagógicos creo que es mejor no entrar en estas cosas y limitarse a ilustrar los problemas aritméticos que surgen al definir la división por 0 (y quizá decir algo así como "se podría definir 1/0 en algunos contextos, pero no lo haremos debido a estos problemas"). De hecho, las nociones aritméticas son mucho más intuitivas que las construcciones abstractas y topológicas a estas alturas.