Por lo que $x$ hace $\sqrt[x]{n}$ ¿tiene sentido?

Question

Me estoy confundiendo, creo, con el uso del símbolo radical (raíz enésima).

Tengo claro el significado de $\sqrt{n}$ ou ${\sqrt[3]{n}}$ ou ${\sqrt[1000]{n}}$ etc.

Pero ¿qué pasa cuando tenemos un general $\sqrt[x]{n}$ ? ¿Para qué valores de x tiene esto sentido?

Según internet se da a entender que x es un entero positivo, y en un problema en el que estoy trabajando me encuentro escribiendo:

"Elige $ \delta \le \min \{ \delta_1 , \sqrt[\alpha]{\epsilon\over K} \}.$ Sabemos que $\sqrt[\alpha]{\epsilon\over K}$ existe desde $\alpha > 0$ "

¿Tiene eso sentido cuando lo único que sabemos de alfa es que es mayor que 0 (podría ser cualquier número real positivo, presumiblemente)?

Soy consciente de que el uso de potencias fraccionarias aclara la ambigüedad, pero también permiten que alfa sea negativo, lo que no funciona con mi prueba ya que estoy tratando de mostrar una elección de delta que depende de tener un alfa positivo.

Answer 1

Pero ¿qué pasa cuando tenemos un general $\sqrt[x]{n}$ ? ¿Para qué valores de $x$ ¿tiene esto sentido?

• En el análisis real, la notación comúnmente utilizada es $\sqrt[x]{y}$ se define sólo para un número real positivo $y$ y un número entero positivo $x$ . En concreto, para un determinado positivo número real $a$ y entero positivo $n$ , $\sqrt[n]{a}$ se define como el único número real positivo $y$ tal que $y^n=a$ . (También se escribe $\sqrt[n]{0}=0$ para cualquier número entero positivo $n$ .) La existencia de dicho número se demuestra por la propiedad del mínimo límite superior de los números reales. El número $\sqrt[n]{a}$ se llama $n$ -th raíz de $a$ .
• Uno utiliza el $n$ -raíz como un paso en la definición de la función exponencial $f(x)=a^x$ ( $a>0$ y $a\neq 1$ ).
• Para $a>0$ , uno podría definir $\sqrt[x]{a}$ para cualquier $x\neq 0$ pero en el caso de que $x$ no es un número entero positivo, se utilizaría la notación $a^{\frac{1}{x}}$ en su lugar. No tiene sentido inventar una nueva notación como $\sqrt[\pi]{2}$ ou $\sqrt[-3]{7}$ cuando lo que realmente se quiere decir son $2^{\frac{1}{\pi}}$ y $7^{\frac{1}{-3}}$ .

y en un problema en el que estoy trabajando...

Selon este comentario tuyo, parece que estás pidiendo un Problema XY . Lo que se quiere mostrar es lo siguiente:

Dejemos que $I$ sea un intervalo en $\mathbb{R}$ y supongamos $f:I\to\mathbb{R}$ es una función tal que existe $M,\alpha>0$ , $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^\alpha$ para todos $x,y\in I$ . Demostrar que $f$ es continua en $I$ .

El presupuesto que desea es para unos $|x-y|<\delta$ , $$ |x-y|^\alpha<\frac{\epsilon}{M}\tag{1} $$ Cuando $|x-y|=0$ (1) es trivial por la convención de que $0^\alpha=0$ . Cuando $0<|x-y|$ (1) es verdadera si y sólo si $$ |x-y|<\left(\frac{\epsilon}{M}\right)^{1/\alpha}. $$ porque $f(z)= z^{\alpha}=e^{\alpha\log z}$ es una función creciente en $(0,\infty)$ .

Answer 2

En realidad se trata de algo más sutil de lo que muchos creen. En primer lugar, asumiendo que empezamos con una base no negativa $b\ge 0$ , entonces la exponenciación y la toma de $n$ -las raíces son realmente la misma cosa. Es decir,

$$b^n=b^{\frac{1}{1/n}}=\sqrt[1/n]b\quad\text{and}\quad \sqrt[n]b=b^{1/n}.$$

La cuestión es cómo definimos $b^n$ para un número real arbitrario $n$ . Primero nos convencemos de las propiedades básicas / deseadas: para $b\ge 0$ , deberíamos tener $$b^{x+y}=b^xb^y,\quad b^x=\dfrac{1}{b^{-x}},\quad (b^x)^y=b^{xy},\quad \text{and}\quad b^{1/x}=\sqrt[x]b.$$

He aquí un resumen de este proceso.

• Dejemos que $x\ge 0$ . Primero definimos $x^n$ para $n\in\{0,1,2,\ldots\}$ donde $x^0=1$ y $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot\cdots \cdot x}_{\text{n factors}}$
• A continuación definimos $x^{1/n}$ para ser el número real $y$ tal que $y^n=x$ . Nótese que el axioma de completitud implica que $y$ existe y es único.
• A partir de las propiedades de los exponentes, hemos definido $b^q$ para cualquier $q\in \Bbb Q$ .
• Por último, definimos $b^r$ para $x\in \Bbb R$ como se indica a continuación: que $\{a_n\}$ sea una secuencia de números racionales que convergen a $r$ . Tal secuencia existe, por ejemplo, pero sólo tomando aproximaciones decimales cada vez más largas para $r$ . Entonces simplemente definimos $$b^r=\lim_{n\to \infty}b^{a_n}.$$

Esta es básicamente toda la historia. Hay algunos detalles que rellenar (como la singularidad de $b^r$ en el último paso), pero se entiende.

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Intuitivamente, los exponentes reales están definidos para ser exactamente lo que debe ser para hacer $b^x$ una función continua.

Por ejemplo, para obtener $2^\pi$ , toma la secuencia $3,3.1,3.14, 3.141,\ldots$ . Podemos aproximar sucesivamente $2^\pi$ con la secuencia

$$2^3,\ 2^{3.1},\ 2^{3.14},\ \ldots.$$

Esto da aproximadamente

$$8,\ 8.57,\ 8.81524,\ 8.82135$$

y al final tenemos un límite

$$2^\pi=8.8249778270762876239\ldots.$$

No se puede escribir este número mucho mejor que como " $2^\pi$ pero no pasa nada porque sabemos que el número existe y podemos aproximar la expansión decimal con una precisión arbitraria.

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Edición: No estoy seguro de haber interpretado correctamente su pregunta. Una vez que tienes la exponenciación por cualquier número real, expresiones como $\sqrt[r]x$ se definen como $x^{1/r}$ .