Dejemos que $\mathbb D$ sea el disco unitario. La métrica de Poincare de $\mathbb D$ viene dada por $dx^2+dy^2/(1-x^2-y^2)^{-2}.$ Quiero demostrar que para $0\neq x\in\mathbb R\cap\mathbb D$ $\gamma_0(t)=tx$ es una geodésica. La forma habitual de demostrar que para cualquier curva regular suave $\gamma,$ unirse a $0$ y $x$ tenemos que $\text{length}(\gamma)\geq \text{length}(\gamma_0).$ Se puede demostrar que si $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ puis $\text{length}(\gamma)\geq\int_{0}^1|x(t)|/(1-|x(t)|^2)dt$ Si supiéramos que $x$ es una cura regular, entonces podemos utilizar la fórmula de cambio de variable y concluir. Pero sabemos que $x$ puede no ser regular. ¿Cómo resolver esta dificultad?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí un enfoque mejor:
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si una curva es precisamente el conjunto de puntos fijos de una isometría, es una geodésica (reparametrizada).
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Las isometrías llevan las geodésicas a las geodésicas.
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Las rotaciones en torno al origen son isometrías, por lo que basta con comprobar que el diámetro vertical es una geodésica (reparametrizada).
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Lo es, porque es el conjunto de puntos fijos de la reflexión $(x,y) \mapsto (-x,y)$ .
No hace falta molestarse con las longitudes y los cálculos.
