Encuentra una ecuación de la tangente

Question

Encuentra la ecuación de la tangente a la curva en el punto dado:

B) $f(x)=\frac{1}{\sqrt(x-1)}$ En $(2,1)$

Conozco el procedimiento de cómo hacerlo pero me sale mal. Primero encontré la pendiente y tuve que usar el paso binomial conjugado, etc.

La respuesta es $x+2y-4=0$

Answer 1

La tangente de la curva de una función $f$ en un punto $(x_0,f(x_0))$ tiene la ecuación: $$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$ y en su ejemplo $f(x)=(x-1)^{-1/2}$ y $x_0=2$ por lo que $f'(2)=-\frac12$ por lo que la ecuación es $$y=-\frac 1 2(x-2)+1\iff x+2y-4=0$$

Editado La pendiente de la tangente en $(2,1)$ es $$\lim_{h\to0}\frac{f(h+2)-f(2)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{\sqrt{h+1}}-1}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(1-\sqrt{h+1})\color{red}{\times(1+\sqrt{h+1})}}{h\sqrt{h+1}\color{red}{\times(1+\sqrt{h+1})}}\\ =\lim_{h\to0}\frac{-1}{\sqrt{h+1}\color{red}{\times(1+\sqrt{h+1})}} =-\frac12$$

Answer 2

Por diferenciación obtenemos:

$f'(x)=\frac{-(x-1)^{-3/2}}{2}$

Podemos entonces sustituir $x=2$ para encontrar el gradiente de la función en $(2,1)$ ,

$f(2)=\frac{-(2-1)^{-3/2}}{2}=\frac{-1}{2}$

Así que el gradiente es $\frac{-1}{2}$ .

Ahora conocemos la pendiente y un punto de la recta, por lo que podemos calcular la ecuación de la misma. La ecuación de una recta tiene siempre la forma $y=mx +c$ Utilizando este hecho y sustituyendo el gradiente que acabamos de encontrar obtenemos:

$y=\frac{-1}{2}x+c$ por suerte también conocemos un punto en la línea para sustituir para encontrar $c$ .

Utilizando $(2,1)$ :

$1=\frac{-1}{2}2+c$
se reordena para $c=2$ Así que.., $y=\frac{-1}{2}x+2$
Multiplicando todo por $2$ nos dará: $2y=x+4$ o alternativamente; $x+2y-4=0$