¿Has visto antes esta construcción de proporción áurea? Tres cuadrados (o sólo dos) y un círculo. Geogebra da PHI o 1,6180 exactamente

Question

Obsérvese que esta construcción de la proporción áurea ha sido dramáticamente actualizada aquí con numerosas armonías áureas: Una sinfonía de la proporción áurea ¿Por qué tantas proporciones áureas en una construcción de proporción áurea relativamente sencilla con un cuadrado y un círculo?

¿Has visto antes la construcción de la proporción áurea adjunta? Tres cuadrados (o sólo dos) y un círculo. Para la relación entre el segmento t y el segmento a, Geogebra da PHI o 1,6180.. exactamente.

Las pruebas geométricas y trigonométricas son bienvenidas. ¿Has visto esta construcción antes?

Esta construcción puede hacerse con dos o tres cuadrados idénticos y un círculo. Utilicemos dos cuadrados. Comienza con los dos cuadrados poly2 y poly1. A continuación, dibuje un círculo que intersecte los puntos C, D y E. Luego dibuje un segmento de A a G. El segmento se cortará en la proporción áurea por el arco del círculo de modo que la proporción de a a t es 1,618 o PHI.

¿Alguien ha visto esta construcción de la proporción áurea (o algo similar), o podría alguien ver una forma más obvia o más simple de construirla?

¡Gracias! :)

Answer 1

Completar una $3$ -por- $3$ cuadrícula de casillas, y asignando su diagonales longitud $1$ da esto:

Aquí, vemos la construcción clásica de la media geométrica que nos dice $$\frac{|\overline{PA}|}{|\overline{PC}|} = \frac{|\overline{PC}|}{|\overline{PA^\prime}|} \qquad\to\qquad \frac{a}{1} = \frac{1}{a+1} \tag{$ \N - La estrella $}$$

Esta relación dice exactamente eso $a = \phi^{-1} = 0.618\dots$ el recíproco de la Relación áurea . Además, $b = 1-a = \phi^{-2}$ para que $$\frac{a}{b} = \frac{\phi^{-1}}{\phi^{-2}} = \phi = 1.618\dots \qquad \square$$

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En cuanto a si la construcción es novedosa... La sabiduría sobre la proporción áurea es muy amplia, muy profunda y muy antigua. Descubrir algo que nunca se ha visto antes requiere, casi con toda seguridad, mucha más complejidad que la que aparece en las construcciones que has publicado aquí. Sin embargo, eso no debe disuadirte de explorar y divertirte. Cada construcción que descubras es un logro loable. (Yo los he disfrutado... cuando han sido válidos. ;) Como me dijo el difunto y gran Steve Fisk a un novato en circunstancias muy comparables: Es sólo un accidente del tiempo que alguien haya descubierto estas cosas antes que tú.