Demostración de la fórmula de Bochner con coordenadas

Question

Estoy trabajando en el Problema 7-7 de la "Introducción a las Múltiples de Riemann" de Lee, que nos pide que demostremos la fórmula de Bochner: para una variedad de Riemann $(M,g)$ y $u \in C^\infty(M)$ , $$\Delta \left(\frac 1 2 |\mathrm{grad}\: u|^2\right) = \left|\nabla^2 u\right|^2 + \left\langle \mathrm{grad}\:(\Delta u), \mathrm{grad}\:u\right\rangle + Rc(\mathrm{grad}\:u, \mathrm{grad}\:u)$$ donde $\Delta u = \mathrm{div}\:\mathrm{grad}\:u$ es el laplaciano de $u \in C^\infty(M)$ , $\nabla^2 u = u_{;ij} dx^i \otimes dx^j$ es el hessiano covariante (donde $u_{;ij} = \partial_j\partial_i u - \Gamma_{ji}^k \partial_k u$ ), y $Rc = R_{ij} dx^i \otimes dx^j$ es la curvatura de Ricci, donde $$R_{ij} = R_{kij}^{\:\:\:\:k}$$ y $R_{ijk}^{\:\:\:\:l}$ son los coeficientes del endomorfismo de curvatura $$R(X,Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]}Z.$$ Lee sugiere utilizar los dos hechos siguientes:

1. $\Delta u = g^{ij} u_{;ij} = u_{;i}^{\:\,i}$
2. Si $\beta$ es una forma 1 suave en $M$ entonces $$\nabla^2_{X,Y}\beta - \nabla^2_{Y,X} \beta = -R(X,Y)^*\beta,$$ o en coordenadas, $$\beta_{j;pq} - \beta_{j;qp} = R_{pqj}^{\:\:\:\,m}\beta_m$$ donde $\beta_{j;pq}$ son los coeficientes de $\nabla^2\beta$ .

He intentado derivar la fórmula de Bochner a partir de diversos cálculos, la mayoría de ellos con coordenadas normales de Riemann $(x^i)$ en un punto $x \in M$ . He usado el primer hecho para expandir ambos lados pero el lado derecho especialmente se pone bastante peludo incluso con coordenadas normales. No estoy seguro de dónde entra en juego el segundo hecho. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Fuerza brutal: Tenga en cuenta que $g_{ij;k} = 0$ tenemos

$$\begin{align*} \frac 12 \Delta |\nabla u|^2 &= \frac 12 g^{kl} (g^{ij} u_i u_j)_{kl} \\ &= g^{kl} g^{ij} u_{i;k} u_{j;l} + g^{kl}g^{ij} u_{i;kl} u_j \\ &= |\nabla^2 u|^2 + g^{kl} g^{ij} u_{i;kl} u_j \\ &=|\nabla^2 u|^2 + g^{kl} g^{ij} u_{k;il} u_j \end{align*}$$

Entonces utilizamos su segundo punto:

$$\begin{align*} g^{kl} g^{ij} u_{k;il} u_j &=g^{kl} g^{ij}( u_{k;li} - {R_{lik}}^m u_m ) u_j \\ &= g^{ij} (g^{kl} u_{k;l})_i u_j + g^{kl} g^{ij}{R_{ilk}}^m u_mu_j \\ &= \langle \nabla \Delta u, \nabla u \rangle + g^{ij} {R_i}^m u_mu_j \\ &= \langle \nabla \Delta u, \nabla u \rangle + \operatorname{Rc} (\nabla u, \nabla u). \end{align*}$$

(Utilizamos $R_{ij} = g^{kl} R_{iklj}$ )