Otra forma de describir la misma topología es $$\{O\mid \exists \mathfrak{B}' \subseteq \mathfrak{B}: O= \bigcup \mathfrak{B}'\}$$
que es el conjunto de todas las uniones de subfamilias de la base $\mathfrak{B}$ . (Tenga en cuenta que todos los $B \in \mathfrak{B}$ siempre estará en la topología generada y las topologías son cerradas bajo uniones por lo que todos estos conjuntos están con seguridad en esa topología).
Si $O$ es tal como en mi descripción, claramente cada $x \in O$ es en algunos $B \in \mathfrak{B}'$ por la definición de una unión.
Y si $U$ está abierto como en su descripción, elija $B_x \in \mathfrak{B}$ tal que $x \in B_x \subseteq U$ por cada $x \in U$ . Entonces $U = \bigcup \{B_x\mid x \in U\}$ y así podemos tomar $\mathfrak{B}' = \{B_x\mid B_x \in U\}$ para mi descripción, etc.
Un ejemplo sencillo: $X = \Bbb R$ con base $\mathfrak{B} =\{(x, \rightarrow): x \in \Bbb R\}$ ; todas las uniones de elementos base son también de la forma $(x, \rightarrow)$ , como es easilt checked plus $\Bbb R$ y $\emptyset$ (para la unión de la subfamilia vacía $\mathfrak{B}'$ (en su descripción este conjunto es trivialmente abierto también ya que no hay elementos por lo que la condición de implicación se satisface siempre). Así que la topología no es el conjunto potencia, y de hecho un conjunto de la forma $\{x\}$ sólo se abrirá si se establece que $\{x\}$ ya está en la base $\mathfrak{B}$ .
