Encuentre un homeomorfismo entre $X=\{x\in\mathbb{R^n}:0<\|x\|\leq1\}$ y $Y=\{y\in\mathbb{R^n}:\|y\|\geq1\}$

Question

Dejemos que $X=\{x\in\mathbb{R^n}:0<\|x\|\leq1\}$ y $Y=\{y\in\mathbb{R^n}:\|y\|\geq1\}$

Encuentre un homeomorfismo entre $X$ y $Y$ .

Estaba pensando en $f:X\to Y$ con $f(x) = x+n$ pero no creo que funcione para $f^{-1}:Y\to X$ .

Creo que no tengo la idea correcta para esta pregunta.

Answer 1

Toma $f:X\to Y$ como $f(x)=\dfrac x{\lVert x\rVert^2}.$

Tenga en cuenta que este $f$ es su propia inversa.