Para dos relojes con $x$ horas de diferencia, ¿qué fracción de día formarían ambos relojes un ángulo agudo?

Question

Primera suposición que hice : Pensé que no era necesario hacer un cálculo para todo un día, sino que bastaría con averiguar la probabilidad durante una hora, ya que cada hora tendría la misma proporción de satisfacer la condición.

A. Así que pongamos un reloj a las 12:00 y el otro a la 1:00, lo que supone una hora de diferencia.

1. Para las 12:00, el periodo de tiempo que hace que las agujas de los minutos/hora formen un ángulo agudo debe ser $0 $ ~ $180/11$ y $540/11$ ~ $0$

(si ponemos $x$ como un solo minuto, debería estar claro. $5.5x < 90$ para la primera mano, $360-6x + 0.5x <90$ para la segunda mano.

2. Para la 1:00, el periodo de tiempo que hace que las agujas de los minutos/hora formen un ángulo agudo debe ser $0 $ ~ $240/11$ y $600/11$ ~ $0$

Así que el tiempo de solapamiento debería ser $0 $ ~ $180/11$ y $600/11$ ~ $0$ durante una hora, lo que hace que $2/33$

B. para $x=2,3,4,5,6$

Debe dividir $x$ a $2$ casos

a. cuando la diferencia horaria está dentro de $3$ horas

b. más de $3$ horas

Hice esto porque la proporción de cada vez es muy diferente después de $3$ horas

para $x = 2$ Es lo mismo que la parte A, sólo que hay que moverse. $60/11$ de cada mano, haciendo que la respuesta $1/22$

Cuando se trata de $x = 3$ Sin embargo, el tiempo total que forma el ángulo agudo entre las 3:00 ~ 4:00 se convierte en $360/11$ (comienza en 0 y termina en $x$ satisfaciendo $6x - (90 + 0.5x) < 90$ que hace que $x = 360/11$ ) cuando $x = 1$ o $2$ el período de tiempo fue $300/11$

Así que la respuesta para cada hora debería ser, $1/22$ para $3$ horas, $1/33$ para $4$ horas, $1/66$ para $5$ horas, y $0$ para $6$ horas.

He omitido intencionadamente otras horas, ya que todas ellas se pueden tratar con simetría.

He resuelto este problema con mi primera suposición, pero no estoy seguro de que esta suposición sea válida.

¿Cree que hay una forma mejor o legítima de abordar este problema?

Answer 1

Cada reloj alterna individualmente entre $p$ horas en estado agudo, seguido de $p$ horas en un estado obtuso, donde $p=\frac{6}{11}$ . Si el desplazamiento entre ellos es $x=0$ horas, entonces están perfectamente sincronizados, por lo que ambos relojes son agudos con probabilidad $\frac{1}{2}$ . Si el desplazamiento entre ellos es $x=p$ horas, entonces están perfectamente desincronizados, por lo que ambos relojes son agudos con probabilidad $0$ .

Evidentemente, al variar $x$ de $0$ a $p$ la probabilidad se desplaza linealmente, por lo que en el rango $x\in\left[0, p\right]$ la probabilidad debe ser $\frac{p-x}{2p}$ .

Al variar $x$ de $p$ a $2p$ la probabilidad debe volver a bajar linealmente a cero, y entonces este patrón debe repetirse con el período $2p$ formando un patrón de onda triangular. Utilizando el fórmula estándar para las ondas triangulares, encontramos que la probabilidad deseada es

$$f(x) = \left|\frac{x-p}{2p} - \left\lfloor\frac{x-p}{2p} + \frac{1}{2}\right\rfloor \right|$$