Conjuntos abiertos en espacios normales

Question

Mi pregunta está relacionada con una duda sobre una demostración del lema de Urysohn. Supongamos que $X$ es normal, $T_1$ -espacio. ¿Podemos encontrar una base para $X$ compuesto por conjuntos $U$ tal que $V\subseteq \overline{V}\subseteq U$ para algún conjunto abierto $V$ ?

Answer 1

Incluso en un espacio regular $X$ podemos hacerlo para cualquier conjunto abierto: en tal espacio tenemos que si $x \in U$ y $U$ abierto, hay algún subconjunto abierto $V$ tal que $x \in V \subseteq \overline{V} \subseteq {U}$ De hecho, se trata de una reformulación de la regularidad. Para ver esto, observe que $F = X \setminus U$ está cerrado y $x \notin F$ por lo que por regularidad hay conjuntos abiertos disjuntos $U_x \ni x$ y $W \supseteq F$ . Así que $U_x \subseteq X\setminus W \subseteq X \setminus F = U$ y como $X \setminus W$ está cerrado, por lo que podemos sustituir $U_x$ por su cierre en esta inclusión, y utilizar $U_x$ como nuestro $V$ .

Así que cualquier base abierta tiene esta propiedad.