condición necesaria y suficiente de una ecuación de rastreo $\operatorname{diag}(AXA^\dagger)=0$

Question

Consideremos la siguiente ecuación matricial:

\begin{equation} \operatorname{diag}(AXA^\dagger)=0 \end{equation} donde $\operatorname{diag}(.)$ representan los elementos diagonales. con $X$ siendo la matriz variable y $A$ siendo una matriz arbitraria con elementos constantes y $A^\dagger=(A^*)^T$ . Suponiendo que ambos tengan entradas complejas, ¿cuál es la condición suficiente y necesaria para que la respuesta a la ecuación anterior sea \begin{equation} X=0 \end{equation} Actualización Si no hay una condición necesaria y suficiente, ¿hay una condición necesaria?

lo que significa que hay una condición en las entradas de $A$ tal que $\operatorname{diag}(AXA^\dagger)=0$ implica $X=0$ ?

Answer 1

Su notación es muy confusa. Supongo que $A^\dagger$ significa $A^\ast=\overline{A}^{\,T}$ (la transposición conjugada de $A$ ) en lugar de $(A^\ast)^T=\overline{A}$ (el complejo conjugado de $A$ ). En este caso, la declaración $$ \forall X,\ \operatorname{diag}(AXA^\dagger)=0\Rightarrow X=0\tag{1} $$ se mantiene si y sólo si $A$ es un vector columna no nulo.

Dejemos que $A$ sea $m\times n$ . Cuando $n>1$ , $f:X\mapsto \operatorname{diag}(AXA^\dagger)$ es un mapa lineal desde $M_n(\mathbb C)$ a $\mathbb C^n$ . Desde $\dim M_n(\mathbb C)=n^2>n=\dim\mathbb C^n$ , $\ker f$ es siempre distinto de cero, independientemente del valor de $A$ .

Cuando $n=1$ , $X$ es un escalar y $\operatorname{diag}(AXA^\dagger)=X(|a_1|^2,|a_2|^2,\ldots,|a_m|^2)^\top$ . Por lo tanto, $(1)$ se mantiene si y sólo si $A\ne0$ .