Trayectorias cerradas en el plano complejo

Question

He adjuntado la imagen de arriba, que es de los apuntes de clase que tratan de los cortes de rama y los puntos de rama. Mi pregunta es: ¿por qué $\phi$ cambiar por múltiplos de $2\pi$ mientras viajamos alrededor del punto $z=1$ ¿en un camino cerrado? ¿Cómo lo demostramos?

Gracias de antemano.

Answer 1

Este ejemplo puede resultar confuso debido a la traducción. De hecho, si $\phi$ se permite $any$ número real, entonces $\log$ como está escrito, ni siquiera es una función.

Así que vamos a distinguir los puntos de bifurcación de los "no" puntos de bifurcación utilizando ejemplos más sencillos.

Por ejemplo $f(z)=\frac{z}{z+1}$ y escribir $z=\rho e^{i\phi}.$ Entonces, por supuesto, ya que $z=\rho e^{i(\phi+2\pi n)};\ n\in \mathbb Z,\ $ podemos utilizar $any$ de estas representaciones de $z$ que queremos. Y, sustituyendo cualquiera de ellos en la fórmula de $f$ obtenemos el $same$ resultado.

Ahora considere $f(z)=z^{\sqrt 2}$ . Tome $\phi=0,\ $ y luego $\phi=2\pi$ y $z=(1,0)=e^{i(0)}=e^{i(0+2\pi)}.$ Sustituyendo estas dos representaciones de $z$ en $f$ obtenemos $1$ y $e^{2\pi\sqrt 2 i},\ $ respectivamente, y estos son $\textit{different}.$

Ahora bien, si consideramos el segmento de línea en $\mathbb C$ de $z=(0,0)$ a $z=(1,0)$ podemos considerar la segunda representación de $z$ como obtenida a partir de la primera mediante una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj por $2\pi$ radianes del segmento sobre $z=0$ . Y cuando hacemos esto, volvemos al mismo punto $z$ pero el valor de $f$ ha cambiado. Por definición entonces, $z=0$ es un punto de ramificación.

Al realizar este análisis geométrico en el primer ejemplo, vemos que el valor de $f$ en el punto girado frente al no girado no ha cambiado, por lo que $z=0$ no es un punto de ramificación para $f$ .

¿Cuál es el problema del segundo ejemplo? Está en la definición de la función potencia, que utiliza la función Arg, que es discontinua en el eje real negativo, por lo que una rotación por $2\pi$ radianes le obliga a "saltar" sobre la discontinuidad.

Para aplicar esto a su caso, traduzca el cuadro completo por $1$ a la derecha y utilice $\log$ en lugar de la función de potencia.