Dejemos que $f: D_4 \rightarrow C_{24}$ sea un homomorfismo. Demuestre que para todo $a \in D_4$ lo siguiente es cierto $f(a)^2 = e$ .

Question

Dejemos que $f: D_4 \rightarrow C_{24}$ sea un homomorfismo. Demuestre que para todo $a \in D_4$ lo siguiente es cierto $f(a)^2 = e$ .

Lo que pensé que podíamos hacer, era escribir $D_4$ ya que sólo tiene 8 elementos. $D_4 = \{1,\rho,\rho^2,\rho^3,\sigma,\sigma\rho,\sigma\rho^2,\sigma\rho^3 \}$ con $\sigma$ siendo la reflexión de orden 2 y $\rho$ siendo la rotación, de orden 4. Entonces podríamos mostrar para cada elemento aquí la condición $f(a)^2 = e$ se mantiene. Como sabemos que $f(a)^2 = f(a^2)$ sabemos que los elementos con un orden que divide a 2 de $D_4$ trabajar. Que son $1$ , $\rho^2$ , $\sigma$ y $\sigma\rho^2$ . Todavía tenemos que demostrar que la condición se cumple para los demás elementos de $D_4$ .

Ahí es donde ya no sé qué hacer. ¿Es correcto lo que he hecho? Si es así, ¿cómo debo continuar? ¿Hay mejores formas de abordar estos problemas?

Gracias por leer,

K.

Answer 1

Dejemos que $\varphi:D_4\to C_{24}$ sea un homomorfismo arbitrario. Sea $a,b\in C_{24}$ sea tal que $\rho\mapsto a$ y $\sigma\mapsto b$ . Entonces tenemos dos relaciones: $bab=a^{-1}$ y $b^2=0$ . Desde $C_{24}$ es conmutativa, estas relaciones implican que $a=a^{-1}$ o que $a^2=0$ . Por lo tanto, tenemos que $a^2=b^2=0$ Así que $\varphi(x)^2=0$ para cualquier posible $x\in D_4$ .

Mi respuesta original e incorrecta. Gracias a Zoe H por señalar dónde me equivoqué.

No creo que esto sea correcto. Defina un homomorfismo $\phi: D_4\to\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ dado por $\rho\mapsto 6$ y $\sigma\mapsto 0$ . Entonces $\phi(\rho)^2 = 12\ne 0$ .

Answer 2

Entonces podríamos simplemente mostrar para cada elemento aquí la condición $f(a)^2 = e$ se mantiene. Como sabemos que $f(a)^2 = f(a^2)$ sabemos que los elementos con un orden que divide a 2 de $D_4$ trabajar. Que son $1$ , $\rho^2$ , $\sigma$ y $\sigma\rho^2$ .

Es cierto, ¡y una buena idea! Pero, resulta que los únicos elementos cuyas órdenes no dividir $2$ son $\rho$ y $\rho^3$ : productos de una sola rotación y una sola reflexión (como $\sigma \rho$ ) son reflexiones, y tienen el orden $2$ .

Así, para continuar con este enfoque, puede centrarse en demostrar que $a^2 \in \ker f$ para $a \in \{\rho, \rho^3\}$ y cualquier homomorfismo $f\colon D_4 \to C_{24}$ . Puede ver que $(\rho)^2 = \rho^2 = (\rho^3)^2$ Así que sólo tienes que averiguar por qué $\rho^2 \in \ker f$ para cualquier $f$ .

Un enfoque para hacerlo: Resulta que el subgrupo conmutador de $D_4$ es $\langle \rho^2 \rangle$ (aunque aquí sólo basta con saber que $\rho^2$ está en el subgrupo del conmutador). Suponiendo que hayas aprendido el teorema de que " $G/\ker f$ es abeliano si y sólo si el subgrupo conmutador de $G$ está contenida en $\ker f$ ", mira las posibilidades de $G/\ker f$ . Los únicos tamaños posibles para $G/\ker f$ aquí están $1, 2$ y $4$ (por qué no $8$ ?), y todos los grupos de estos órdenes son abelianos.

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Un enfoque alternativo es simplemente mirar los posibles tamaños de los subgrupos normales de $D_4$ (es decir, las posibilidades de $\ker f$ ) y utilizar el primer teorema de isomorfismo para pensar en $f(D_4) \cong D_4 / \ker f$ .

Como en el caso anterior, las únicas posibilidades de $|f(D_4)| = |D_4 / \ker f|$ son $1, 2,$ o $4$ .

Ciertamente no hay nada de qué preocuparse si $|f(D_4)| \in \{1,2\}$ .

El único subgrupo normal de $D_4$ tener orden $2$ es $\langle \rho^2 \rangle$ (los únicos otros subgrupos de orden $2$ son las generadas por una sola reflexión, y éstas nunca son normales), que resulta ser el centro $\Bbb Z(D_4)$ de $D_4$ . Seguramente habrás aprendido que $G / \Bbb Z(G)$ nunca puede ser cíclico, lo que implica que $D_4 / \langle \rho^2 \rangle$ , teniendo orden $4$ y al no ser cíclico, debe ser isomorfo a $C_2 \times C_2$ donde cada elemento tiene un orden que divide a $2$ .