Demuestra que $\frac{\log_aN-\log_bN}{\log_bN-\log_cN}=\frac{\log_aN}{\log_cN}$

Question

Demostrar que $$\dfrac{\log_aN-\log_bN}{\log_bN-\log_cN}=\dfrac{\log_aN}{\log_cN}$$ donde $a,b$ y $c$ son positivos y son términos consecutivos de la secuencia geométrica, $a\ne1,b\ne1,c\ne1,N>0,N\ne1$ .

$a,b$ y $c$ son términos consecutivos de una secuencia geométrica si y sólo si $b^2=ac, b=\sqrt{ac}$ . Entonces el LHS es $$\dfrac{\log_aN-\log_\sqrt{ac}N}{\log_\sqrt{ac}N-\log_cN}=\dfrac{\log_aN-2\log_{ac}N}{2\log_{ac}N-\log_cN}$$ Esto parece inútil. ¿Qué podemos hacer? ¿Cuál es la intuición que nos llevará a la solución? Gracias.

Answer 1

$$\dfrac{\log_aN-\log_bN}{\log_bN-\log_cN}-\dfrac{\log_aN}{\log_cN}$$ $$=\dfrac{\frac{1}{\log_Na}-\frac{1}{\log_Nb}}{\frac{1}{\log_Nb}-\frac{1}{\log_Nc}}-\frac{\frac{1}{\log_Na}}{\frac{1}{\log_Nc}}$$ $$=\dfrac{\log c\log b-\log a \log c}{\log a\log c-\log a \log b}-\frac{\log c}{\log a}$$ (donde todos los registros son base $N$ ) $$=\frac{\log c}{\log a}\left[\frac{\log b-\log a}{\log c - \log b}-1\right]$$

Pero $$\log b -\log a =\log c-\log b = \log r,$$ donde $r$ es la proporción común. Por lo tanto, la expresión es cero como se requiere.

Answer 2

Bueno, utilizando el hecho de que:

$$\log_\alpha\beta=\frac{\ln\beta}{\ln\alpha}\tag1$$

Lo conseguimos:

$$\frac{\log_\text{a}\text{N}-\log_\text{b}\text{N}}{\log_\text{b}\text{N}-\log_\text{c}\text{N}}=\frac{\frac{\ln\text{N}}{\ln\text{a}}-\frac{\ln\text{N}}{\ln\text{b}}}{\frac{\ln\text{N}}{\ln\text{b}}-\frac{\ln\text{N}}{\ln\text{c}}}=\frac{\frac{\ln\text{N}\ln\text{b}-\ln\text{N}\ln\text{a}}{\ln\text{a}\ln\text{b}}}{\frac{\ln\text{N}\ln\text{c}-\ln\text{N}\ln\text{b}}{\ln\text{b}\ln\text{c}}}=$$ $$\frac{\ln\text{N}\ln\text{b}-\ln\text{N}\ln\text{a}}{\ln\text{a}\ln\text{b}}\cdot\frac{\ln\text{b}\ln\text{c}}{\ln\text{N}\ln\text{c}-\ln\text{N}\ln\text{b}}=\frac{\ln\text{b}-\ln\text{a}}{\ln\text{a}}\cdot\frac{\ln\text{c}}{\ln\text{c}-\ln\text{b}}\tag2$$

Answer 3

Desde donde lo dejaste -

$\displaystyle \frac{\log_aN-2\log_{ac}N}{2\log_{ac}N-\log_cN} = \frac{\log_aN-2(\log_aN)(\log_{ac}a)}{2(\log_cN)(\log_{ac}c)-\log_cN}$

$\displaystyle = \frac{\log_aN}{\log_cN} \cdot \frac{1 - 2\log_{ac}a}{2\log_{ac}c-1}$

Ahora, observe que al dividir por $\log_{ac}c$ ,

$\displaystyle \frac{1 - 2\log_{ac}a}{2\log_{ac}c-1} = \frac{\log_{c}{ac} - 2\log_{c}a}{2 - \log_{c}{ac}} = \frac{1 - \log_ca}{1 - \log_ca} = 1$