¿Es posible expresar $\sin \frac{\pi}{9}$ ¿en términos de radicales?

Question

Así que, sí, esta es una pregunta de deberes de matemáticas. He investigado un poco y sé que el valor real de $\sin \frac{\pi}{9}$ no puede expresarse sin utilizar números imaginarios. http://intmstat.com/blog/2011/06/exact-values-sin-degrees.pdf

Pero, esto no es lo que la pregunta plantea. Simplemente se pregunta si es posible hacerlo y que lo demuestre. Yo sé que $\frac{3\pi}{9}$ puede simplificarse a $\frac{\pi}{3}$ y que los valores exactos para el seno y el coseno de la misma se pueden expresar limpiamente y otros múltiplos que se pueden reducir a $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{3}$ etc.

Pero, ¿cómo puedo demostrar que $\frac{\pi}{9}$ puede expresarse como un valor exacto?

Estoy en el grado 12 de funciones avanzadas y voy a cursar cálculo el próximo semestre, pero estoy totalmente abierto a aprender cosas nuevas, así que si publicas conceptos muy avanzados haré lo posible por entenderlos.

¿Alguna idea de por dónde podría empezar?

Círculo de unidades:

Answer 1

Por la fórmula de Euler, $e^{xi}=\cos x+i\sin x$ . Por lo tanto, $e^{3xi}=(\cos x+i\sin x)^3=\cos 3x+i\sin 3x$ . Igualar las partes imaginarias, $\sin 3x=3\sin x\cos^2x-\sin^3x$ . Por lo tanto:

$$\begin{align}\sin\frac\pi3&=3\sin\frac\pi9\cos^2\frac\pi9-\sin^3\frac\pi9\\ \frac{\sqrt{3}}2&=3\sin\frac\pi9-4\sin^3\frac\pi9\end{align}$$

Esto nos dice $\sin\frac\pi9$ es una raíz de $64x^6-96x^4+36x^2-3$ . Si estás decidido, puedes intentar utilizar la solución de la ecuación cúbica general para encontrar el valor.

Answer 2

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{6}(-\frac{1}{2})^{k} = \frac{1}{9}\\$$ El círculo unitario básico llega hasta los múltiplos integrales de $\frac{\pi}{6}$ por lo que es razonable suponer que $\sin{\frac{\pi}{9}}$ puede escribirse razonablemente como una raíz anidada infinita mediante fórmulas de medio ángulo. Los numeradores resultantes de la secuencia geométrica arriba indicada siguen el patrón tal que, suponiendo $a_{0}$ es 1, y ${k}$ hace lo mismo con ${n}$ : $$\begin{align*} a_{n+1} = 2a_{n}-1 \ \ \textrm{if} \ \ {n}\mod{2} = 0\\ a_{n+1} = 2a_{n}+1 \ \ \textrm{if} \ \ {n}\mod{2} = 1 \end{align*}$$ Por ello, cada tercer término ( $a_{2},a_{5},...$ ) pueden simplificarse y, por tanto, tener una raíz final anidada ligeramente diferente.

Comenzando las cadenas de medios ángulos usando las sumas producidas a partir de la ecuación anterior, se ve algo así: $$\begin{gather*} \sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\\ \sin({\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{12}})=\sin{\frac{\pi}{12}}=\sqrt{\frac{1-\cos{\frac{\pi}{6}}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\\ \sin({\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{24}})=\sin{\frac{3\pi}{24}}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{\frac{1+\cos{\frac{3\pi}{6}}}{2}}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\\ \sin({\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{24}-\frac{\pi}{48}})=\sin{\frac{5\pi}{48}}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{\frac{1+\sqrt{\frac{1+\cos{\frac{5\pi}{6}}}{2}}}{2}}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{3}}}}}{2}\\ \end{gather*}$$ $\frac{3\pi}{24}$ se deja tal cual para ver la divisibilidad de la fracción, y la correlación con los términos anteriores y posteriores a ella respecto a las raíces anidadas. Cada 3 términos después de este también se puede simplificar; así, después de los siguientes términos de la secuencia, las cosas empezarán a repetirse... $$\sin({\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{24}-\frac{\pi}{48}+\frac{\pi}{96}})=\sin{\frac{11\pi}{96}}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{\frac{1+\sqrt{\frac{1+\sqrt{\frac{1+\cos{\frac{11\pi}{6}}}{2}}}{2}}}{2}}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}}{2}$$ Después de este término sigue otro valor, $\frac{21\pi}{192}$ que se puede simplificar. Al igual que su predecesor, su raíz final anidada es $\sqrt{2}$ que luego se anida de forma similar a la última ocurrencia. Como se trata de un patrón recurrente, el valor de $\sin{\frac{\pi}{9}}$ se define así como $$\frac{\sqrt{2-\Big[{\sqrt{2+{\sqrt{2-{\sqrt{2+...}}}}}}\Big]}}{2}$$ donde la expresión entre corchetes es autorrecursiva (es decir, la expresión rellena la elipsis y deja otra elipsis para rellenarla de nuevo). Este valor es aproximadamente igual a $0.34202014333$ .

Answer 3

En Arce, convert(RootOf(64*x^6-96*x^4+36*x^2-3,x),radical); tiene resultado:

$$\frac{1}{4}\,\sqrt {-\sqrt [3]{4+4\,i\sqrt {3}}-4\,{\frac {1}{\sqrt [3]{4+4\,i \sqrt {3}}}}+8+8\,i\sqrt {3} \left( \frac{1}{8}\sqrt [3]{4+4\,i\sqrt {3}}-\frac{1}{2}\,{\frac {1}{\sqrt [3]{4+4\,i\sqrt {3}}}} \right) }$$

Por supuesto, en el "casus irreducibilis" Aunque la raíz es real, hay números complejos involucrados en el cálculo.