Triple integral $\iiint_{\mathbb{R}^3} d^{3}q ~\delta^{3}(\vec{q})\frac{(\vec{p}\cdot\vec{q})^2}{q^{2}} $ que implica la función Delta de Dirac

Question

Estoy tratando de encontrar $$\iiint_{\mathbb{R}^3} d^{3}q ~\delta^{3}(\vec{q})\frac{(\vec{p}\cdot\vec{q})^2}{q^{2}},$$ donde $\vec{p}$ es un vector fijo.

La respuesta debe ser $\frac{p^2}{3}$ . A continuación, mi intento, que parece llevar a la respuesta equivocada $\frac{p^2}{2}$ .

Intento: Alineemos $q_{z}$ con $\vec{p}$ , por lo que medimos $\theta$ wrt $\vec{p}$ . Como no hay $\phi$ dependencia para poder escribir $$\delta^{3}(\vec{q})=\frac{\delta(q)\delta(\theta)}{2\pi q^{2}\sin(\theta)}.$$

Por lo tanto, tengo

$$p^{2}\int_{0}^{\infty} dq \delta(q)\hspace{1mm}\int_{-\pi}^{\pi}d\theta\hspace{1mm} \delta(\theta)\cos^2\theta .$$

Comprendo $$\int_{0}^{\infty}\delta(q)dq = \frac{1}{2},$$ si tratamos $\delta(q)$ como caso límite de una distribución gaussiana simétrica. Mientras que la $\theta$ integral es $1$ . Así que la respuesta a mi pregunta es $\frac{p^2}{2}$ . Que es diferente de la respuesta correcta $\frac{p^2}{3}$ .

Así que mis preguntas son:

1. ¿Qué ha fallado en mi derivación?

2. ¿Cómo se deduce y justifica la respuesta $\frac{p^2}{3}$ ¿a partir de los primeros principios?

Answer 1

Pistas:

1. En matemáticas, un distribución normalmente sólo se define con respecto a las funciones de prueba suaves. Sin embargo, la función ${\bf q}\mapsto({\bf q}\cdot{\bf p})^2/q^2$ no es continua en el origen ${\bf q}={\bf 0}$ . No obstante, podemos, por ejemplo, intentar evaluar la integral triple utilizando la siguiente representación de la 3D Distribución delta de Dirac $$\tag{1} \delta^3({\bf q})~=~ \lim_{\varepsilon\to 0^+} \frac{1}{4\pi} \frac{3\varepsilon}{(q^2+\varepsilon)^{\frac{5}{2}}}, \qquad q~:=~|{\bf q}|,$$ donde se entiende implícitamente que el límite $\lim_{\varepsilon\to 0^+}$ debe tomarse después de la triple integración.

2. Para un determinado $\varepsilon>0$ el integrando es integrable en $\mathbb{R}^3$ . Y está acotado en el origen ${\bf q}={\bf 0}$ por lo que podemos utilizar coordenadas esféricas. Como menciona OP, en coordenadas esféricas con ${\bf p}$ a lo largo del $z$ -eje, tenemos $$\tag{2}\frac{({\bf q}\cdot{\bf p})^2}{q^2}~=~p^2\cos^2\theta.$$

3. Sustituir $q\to \sqrt{\varepsilon}q$ en la triple integral. El $\varepsilon$ -desaparece la dependencia. Realiza la integral triple.

Answer 2

$$δ^3(q⃗ )=\frac{δ(q)δ(\theta)}{2\pi q^2\sin(\theta)}$$ se equivoca. La función delta es esféricamente simétrica, y por lo tanto no tiene dependencia de θ. Simplemente use: $$d^3(q⃗ )=\frac{δ(q)}{2\pi q^2}$$ en su lugar. Utilice el jacobiano cuando cambie de sistema de coordenadas (de cartesiano a esférico) ( $r^2 \sin(\theta)$ ), y debería obtener el resultado.