¿Cuándo está abierto un mapa de cociente?

Question

Mapa de cociente de $X$ a $Y$ es continua y suryente con una propiedad : $f^{-1}(U)$ está abierto en $X$ si $U$ está abierto en $Y$ .

¿Pero cuando es un mapa abierto? ¿Qué condición necesita?

Answer 1

Acordemos que $f : X \to Y$ denota una suryección continua.

$f : X \to Y$ se denomina mapa cociente si satisface la siguiente condición:

$$U \subset Y \text{ is open } \Longleftrightarrow f^{-1}(U) \subset X \text{ is open.} \tag{Q}$$

El $\Longrightarrow$ parte no significa otra cosa que $f$ es continua, lo cual es redundante porque $f$ se supone que es continua. Por lo tanto, podemos sustituir (Q) por

$$f^{-1}(U) \subset X \text{ is open } \Longrightarrow U \subset Y \text{ is open.} \tag{Q'}$$

Tenemos los siguientes conocidos

Lema. $f$ es un mapa cociente si y sólo si satisface

$$f^{-1}(C) \subset X \text{ is closed } \Longrightarrow C \subset Y \text{ is closed.} \tag{Q''}$$

Esto da el conocido

Lema. Si $f$ es un mapa abierto o cerrado, entonces $f$ es un mapa cociente.

Prueba. Sea $f$ ser un mapa abierto. Si $f^{-1}(U)$ está abierto, entonces $f(f^{-1}(U))) = U$ está abierto. Así, $f$ es un mapa cociente. Nótese que la ecuación $f(f^{-1}(U))) = U$ requiere surjetividad.
El caso que $f$ es un mapa cerrado se trata de forma similar.

Hemos visto que ser un mapa cociente es más débil que ser un mapa abierto. Por supuesto, obtenemos

Lema. Un mapa cociente $f$ es un mapa abierto si y sólo si $$U \subset X \text{ is open } \Longrightarrow f^{-1}(f(U)) \subset X \text{ is open.} \tag{O}$$

Prueba. Si $f$ es un mapa abierto, entonces $f(U)$ está abierto y por lo tanto $f^{-1}(f(U))$ está abierto. Para la inversa, obsérvese que $f^{-1}(f(U))$ abierto implica $f(U)$ abierto porque $f$ es un mapa cociente.

Ciertamente hay casos en los que el lema anterior es muy útil, pero depende de la situación concreta si es más fácil verificar la condición (O) que verificar directamente que $f$ está abierto.

La ventaja de (O) es que no necesitamos conocer la topología en $Y$ explícitamente . Esto es particularmente útil si se nos da una suryección $f : X \to Y$ de un espacio $X$ a un conjunto $Y$ y dotar $Y$ con la topología del cociente. Si nos dan una suryección continua $f :X \to Y$ de un espacio $X$ a un espacio $Y$ probablemente sea más fácil demostrar directamente que $f$ es un mapa abierto que probar primero que $f$ es un mapa cociente y luego verificar (O).

Answer 2

La definición de un espacio cociente:

Un espacio topológico $(Y,U)$ se llama espacio cociente de $(X,T)$ si existe una relación de equivalencia $R$ en $X$ para que $(Y,U)$ es homeomorfo a $(X/R,T/R)$ .

Esta definición equivale a:

$(Y,U)$ es un espacio cociente de $(X,T)$ si y sólo si existe un mapeo surjetivo final $f: X \rightarrow Y$ .

La declaración anterior dice que $f$ debe ser definitivo, lo que significa que $U$ es la topología inducida por la estructura final,

$$U = \{A \subset Y | f^{-1}(A) \in T \}$$

Esta es la colección más grande que hace que el mapeo sea continuo, lo que es equivalente en su definición con la declaración "si y sólo si".

Sin embargo, si el mapa está abierto:

Si $f: X \rightarrow Y$ es un mapa abierto continuo y suryente, entonces es un mapa cociente.

Obsérvese que esto también es válido para los mapas cerrados. Así que en el caso de los abiertos (o cerrados) la parte "si y sólo si" no es necesaria. Si $f^{-1}(A)$ está abierto en $X$ entonces utilizando la surjetividad del mapa $f (f^{-1}(A))=A$ está abierto ya que el mapa está abierto. Y el otro lado del "si y sólo si" se deduce de la continuidad del mapa.