¿Cuál es la suma de $k^2(n - k)$ para $k = 1$ a $k = n$ ?

Question

¿Cuál es el valor de $\sum\limits_{k=1}^n k^2(n - k)$ ?

El problema que tenía era: para una rejilla cuadrada de tamaño $n \times n$ cuántos cuadrados tienen sus esquinas en los puntos de intersección de la cuadrícula. (Hay $n \times n$ puntos, la longitud del cuadrado es $n - 1$ ).

Por cada $k$ -de tamaño de un cuadrado hay $n - k$ posibles cuadrados con sus esquinas colocadas en los bordes del cuadrado mayor. Para cada $k$ -de tamaño de un cuadrado hay $\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$ posibles plazas más pequeñas.

Answer 1

\begin{align*} \sum_{k=1}^n k^2(n-k)&=n\sum_{k=1}^n k^2-\sum_{k=1}^n k^3 \\[5pt] &=n\left(\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)\right)-\frac{n^2}{4}(n+1)^2\\[5pt] &= \frac{n^2}{12}(n^2-1), \end{align*} por la linealidad de la suma y las fórmulas de $\sum k^2$ y $\sum k^3$ .

Answer 2

Si se sustituyen directamente las fórmulas conocidas (se dividen en dos sumas) se obtiene:

$$\frac{1}{12} n (n+1) \left(n^2-n\right)$$

Answer 3

Empecemos por dividir la suma en dos sumas diferentes:

$$ \sum_{k=1}^n k^2(n-k)=\sum_{k=1}^n k^2n-\sum_{k=1}^n k^3=n\sum_{k=1}^n k^2-\sum_{k=1}^n k^3 $$

Ahora tenemos $\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ y $\sum_{k=1}^n k^3=\left( \frac{n(n+1)}{2}\right) ^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ y juntos

$$ n\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\frac{2n^2(n+1)(2n+1)-3n^2(n+1)^2}{12}=n^2(n+1) \frac{2(2n+1)-3(n+1)}{12}=n^2(n+1)\frac{4n+2-3n-3}{12}=\frac{n^2(n+1)(n-1)}{12} $$