Resolver $\int \frac{\arctan(x)}{x^3} dx$ sin fracciones parciales

Question

Así que estoy tratando de resolver la integral indefinida $$\int \frac{\arctan(x)}{x^3}\, dx$$

Esto es lo que he probado: Utilizar la integración por partes: $$\int v\,du = vu - \int u\,dv$$ Dejemos que $v = \arctan(x)\\$ Dejemos que $dv = \frac{dx}{1 + x^2}.\\$ Dejemos que $du = x^3\, dx.\\$ Dejemos que $u = -\frac{1}{2x^2}.\\$

$$-\frac{\arctan(x)}{2x^2} + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} \,dx$$

Ahora estoy algo atascado, y como no nos han enseñado fracciones parciales, no estoy seguro de cómo proceder. ¿Alguien podría explicarme cómo enfocar esto? Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia . Uno puede simplemente escribir $$\frac{1}{x^2(1 + x^2)}=\frac{(1+x^2)-x^2}{x^2(1 + x^2)}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1 + x^2}.$$