Hay una analítica caracterización de la Čech-Piedra compactification (en la norma de la topología, que es un espacio normal) de un espacio de Banach $X$? La razón que pido es porque quiero saber lo que es la máxima compacta de extensión de dicho espacio podría ser. Por ejemplo, ¿importa si el espacio tiene el Radon-Nikodým de la propiedad, ya que estos dan una más finito dimensionales sentir a las medidas en el espacio?
Se relaciona la pregunta de que si $X$ es una normativa espacio que sin duda puede ser "demasiado pequeño" para ser un espacio de Banach, pero si recuerdo correctamente un espacio de Tychonoff siempre tiene una terminación, por lo que existe un espacio de Banach con la norma en $X$. Puede $X$ también ser demasiado grande para ser un espacio de Banach? Es decir, cuando se $X$ sí ya es de Banach, en qué caso son más grandes conjuntos (como en: estrictos de inclusión) no más de Banach?
Más explícito:
- Deje $(X, \|\cdot\|_X)$ ser un espacio de Banach, es decir, un completo espacio métrico en la inducida por la métrica. Podemos describir a $\beta X \setminus X$ con la topología inducida por 1) la norma 2) la topología débil.
- Como en 1., deje $(X, \|\cdot\|_X)$ ser un espacio de Banach. Cuando podemos encontrar una adecuada supset $Y$ $X$ (que es $Y \supsetneq X$) tal que $(Y, \|\cdot\|_X)$ es todavía un espacio de Banach?
Ejemplo: Los espacios de Sobolev $W_0^{m, p}$$W^{m, p}$, que es el cierre, en la Sobolev $(m, p)$-norma, de la forma compacta compatible suave y $C^m$ funciones respectivamente.
Aún más explícito: Considerar el abrir de la unidad de disco $\Omega$$\mathbf R^2$. En el $L^p(\Omega)$ espacio podemos encontrar subespacios que se llevan los Sobolev norma $$\|u\|_{W^{m, p}(\Omega)} := \sum_{|\alpha| \leqslant m} \|D^\alpha u\|_{L^p(\Omega)}.$$ El compacto respaldado $C^m$ función en el cierre de la $W^{m, p}$ es el espacio $W_0^{m, p}$. Si me tome la $C^m$ funciones que han finito $W^{m, p}$-norma, a continuación, obtener el espacio de $W^{m, p}$ (este es un resultado por Meyers y Serrin [1964]). Ambos espacios son obviamente de Banach. Sin embargo, $W_0^{m, p}$ sólo consiste de las funciones que han de traza cero, que es intuitivamente hablando, funciones que son cero en el límite del espacio. $W^{m, p}$ no posee dicha propiedad.
Además, tenemos la obvia de la cadena de incrustaciones: $$W_0^{m, p} \hookrightarrow W^{m, p} \hookrightarrow L^p.$$
Así que, en general, la pregunta es (1) si $(X, \|\cdot\|_X)$ es un espacio de Banach, ¿existe un conjunto de $Y$ que contiene $X$ y todavía es la normativa por $\|\cdot\|_X$ que también es de Banach e tiene $X$ integrada?
En efecto, como Edad, John comentó en el chat: $\|\cdot\|_X$ no sería definido en $X$. Pero, si estoy en lo correcto y también, dada la respuesta, puedo hacer $X$ 'grandes' y aún así la restricción a $X$ mantendría su norma, y no $Y$ podría sentarse.
Espero que esto sea una pregunta mejor.
