Desigualdad de valores propios en matrices simétricas

Question

Diga $Q$ es una simetría $n \times n$ matriz y $c \in R^n$ es un vector no nulo, y $\mu$ es un número positivo.

Tomemos la matriz simétrica $R = Q + \mu c c^T$ . Denotemos el vector propio i de una matriz $\lambda_i (A)$ y $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq ... \leq \lambda_n$

Quiero demostrar que para $n \geq 2$ entonces $\lambda_1(R) \leq \lambda_n(Q)$

He conseguido demostrar que para la matriz simétrica Q, si tiene una base ortonormal de vectores propios $w_1 , ... w_n$ y para R tiene $s_1 , ... ,s_n$

Entonces para algún vector $v = a_1 w_1 + ... + a_n w_n$

Se mantiene lo siguiente: $\frac{v^TQv}{v^Tv} = \theta_1\lambda_1(Q) + ... + \theta_n \lambda_n(Q)$ para $\theta_i = \frac{a_i^2}{a_1^2 + ... + a_n^2}$

y $\lambda_n = max_{v \neq 0}\frac{v^TQv}{v^Tv}$ y $\lambda_1 = min_{v \neq 0}\frac{v^TQv}{v^Tv}$ . Que se mantienen respectivamente cuando $v = w_n$ y $v = w_1$

Me las arreglé para encontrar que $\lambda_n(R) \geq \mu|c|^2 + \lambda_1(Q)$ Sí, es cierto: $\lambda_n(R) = \frac{s_n^TRs}{s_n^Ts} \geq \frac{w_1^TQw_1}{w_1^Tw_1} + \mu \frac{w_1^TQw_1}{w_1^Tw_1} \geq\lambda_1(Q) + \mu |c|^2$

Ahora estoy atascado para mostrar: $n \geq 2$ entonces $\lambda_1(R) \leq \lambda_n(Q)$

Cualquier sugerencia o idea será muy apreciada.

Answer 1

Observe que $$ \langle Qx,x \rangle \leq \langle Rx,x \rangle $$ (donde $\langle \cdot, \cdot \rangle$ denota el producto escalar euclidiano). Esto significa que se comparan las formas cuadráticas asociadas a $Q$ y $R$ .

Esto es tue desde

\begin{align*} \langle Rx,x \rangle = \langle (Qx+ \mu c c^T) x,x \rangle &= \langle Qx,x \rangle + \mu \langle c c^T x ,x \rangle \\ &= \langle Qx,x \rangle + \mu (c c^T x)^T x \\ &= \langle Qx,x \rangle + \mu x^T c c^T x \\ &= \langle Qx,x \rangle + \mu (c^T x)^T c^T x \\ &= \langle Qx,x \rangle + \mu \| c^T x \|^2 \geq \langle Qx,x \rangle \end{align*}

Entonces aplica el principio minimax de Courant ( https://en.wikipedia.org/wiki/Courant_minimax_principle ) que expresan los valores propios de las matrices simétricas reales en términos de las formas cuadráticas asociadas.