Potencial eléctrico de la esfera

Question

(a) Estoy un poco confundido con esta parte. El punto de A a B no es radial. El campo eléctrico es radial hacia afuera, pero si miro la integral

$$\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s} = \int_{a}^{b}\frac{\rho r}{3\epsilon_0}\mathbf{\hat{r}}\cdot d\mathbf{s}$$

El vector ds y r no pueden estar en la misma dirección, así que ¿tengo que expresarlo en forma de norma del producto punto? Tengo miedo de hacerlo. Así que mi respuesta de deseo (ya que dice que es 2 marcas ) es

$$\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s} = \int_{r}^{R} \frac{\rho r}{3\epsilon_0}dr$$

(b) Vale, este no es tan malo, pero soy extremadamente paranoico. Así que volví a la definición de potencial

$$V = k\int\frac{dq}{d}$$ Como la densidad es uniforme, simplemente obtengo $V = \dfrac{kQ}{d}$

Ahora sólo sustituyo $r$ en la ecuación y obtener $V = \dfrac{kQ}{r} = \dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0r}$ .

Obsérvese que "d" es la distancia radial. He evitado utilizar r o R porque la imagen utiliza r y R

Gracias por leer

Answer 1

¿Por qué buscas una superficie radial ? Míralo como un Superficie equipotencial (una superficie en la que todos los puntos están al mismo potencial eléctrico constante) como viene con la esfera. Por lo tanto, puede asumir los puntos A a B como radiales para encontrar la diferencia de potencial.

Answer 2

Utilice el teorema de Gauss para obtener el campo eléctrico a una distancia r del centro. Por simetría, el campo eléctrico es radial y constante en cualquier esfera de radio r, por lo que es fácil calcular su flujo. Luego calcula la circulación de E entre A y B para obtener Vb-Va