Lente con revestimiento de espejo

Question

Una lente biconvexa de índice de refracción $n$ y el radio de curvatura $r$ y la distancia focal $f$ flota horizontalmente en mercurio líquido de manera que su superficie inferior es efectivamente un espejo esférico. Un objeto puntual en el eje óptico a una distancia $u$ se encuentra que coincide con su imagen. ¿Qué son $r$ y $n$ ?

La parte anterior de la pregunta ha dado lugar a una prueba de : $$\frac{n_2}{v} + \frac{n_1}{u} = \frac{n_2-n_1}{r}$$

Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo avanzar en la segunda mitad de la pregunta.

Answer 1

Divida el problema en dos partes. Primero consideremos el espejo convexo. Una fuente puntual en el centro de la curvatura se reflejaría sobre sí misma. Podemos describir igualmente los rayos que salen del espejo como haces paralelos refractados por una lente de distancia focal $f_1= r$ .

Ahora, si colocamos una segunda lente delante, la lente combinada tendrá una potencia dada por

$$\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}=\frac{1}{f}$$

Y por la fórmula del fabricante de lentes sabemos que una lente plano-convexa tiene una distancia focal

$$f_2=\frac{r}{n-1}$$

Combinando estos datos obtenemos

$$u=\frac{r}{n}$$

Ahora combinamos con la información que el radio de curvatura $r$ llevó a la distancia focal inicial $F$ lo que significa que

$$r=2(n-1)F$$

Si mis cálculos de memoria son correctos, se deduce que

$$n=\frac{u}{2F}-1$$

Y eso

$$r=u-4F$$