Sobre la secuencia de Cauchy

Question

Si $f:X\longrightarrow X$ es un mapa continuo (e inyectivo) sobre un espacio métrico completo $(X,d)$ tal que $\{fx_n\}$ es una secuencia de Cauchy, entonces podemos concluir que $\{x_n\}$ ¿es también una secuencia de Cauchy?

Aquí está mi intento: Supongamos que no, entonces para algunos $\varepsilon>0$ , $$d(x_n,x_m)\geq\varepsilon$$ para todos $n$ y $m$ . Pero por la continuidad de $f$ y $d$ obtenemos $$d(fx_n,fx_m)\geq \varepsilon^\prime=f(\varepsilon),$$ contradictorio $\{fx_n\}$ es una secuencia de Cauchy.

Answer 1

Tomemos la función definida a trozos donde $f(x)=1/x$ de $x \in (1,+\infty)$ y una línea decreciente en $(-\infty, 1]$ tal que $f(1)=1$ . Esta es una función continua inyectiva. Tomemos ahora la secuencia $(1,2,3, \dots)$ . No es Cauchy, pero su imagen es $(1,1/2,1/3,\dots)$ que es Cauchy.