¿Hay algún ejemplo de polinomio racional $f(n)\in \mathbb{Q}[t]$ que tiene una salida entera para todas las entradas enteras que son suficientemente grandes, pero no para, por ejemplo, las entradas $n=1,2,3,\dots,n$ ?
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GmonC
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Cualquier $P\in\mathbb Q[X]$ cuyas evaluaciones en absoluto $n \in\Bbb N$ están en $\Bbb Z$ son combinaciones lineales enteras de los polinomios racionales $\binom Xd$ avec $d \in\Bbb N$ el coeficiente de $\tbinom X0=1$ es la evaluación $P$ en $0$ restando ese término (constante), el coeficiente de $\tbinom X1=X$ es la evaluación en $1$ del resto; restando ese término (lineal), el coeficiente de $\tbinom X2=\frac{X^2-X}2$ es la evaluación en $2$ del resto; y así sucesivamente. El resto se convierte finalmente en $0$ cuando el coeficiente de $\binom Xd$ se tiene en cuenta cuando $d=\deg P$ ya que hemos restado un polinomio $Q$ de grado $d$ cuyas evaluaciones en $0,1,\ldots,d$ coinciden con los de $P$ que obliga a $P=Q$ .
Ahora los polinomios racionales $\tbinom Xd$ tomar valores enteros en absoluto $n\in\Bbb Z$ y, por lo tanto, también lo hará $P$ . Si para algunos $P'\in\mathbb Q[X]$ las evaluaciones en todos los enteros ${}\geq n_0$ están en $\Bbb Z$ entonces considere $P=P'[X:=X+n_0]$ (sustituir $X+n_0$ para $X$ ), ahora $P$ tiene evaluaciones enteras en todo $n \in\Bbb N$ y lo anterior se aplica, por lo que $P'$ tiene evaluaciones enteras en todo $n \in\Bbb Z$ .
Para establecer el vínculo con la respuesta de Hagen von Eitzen, este argumento sólo necesita la integralidad en $\deg P+1$ valores sucesivos, lo que obliga a que todas las evaluaciones sean enteras.
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No.
Supongamos que $f$ es un polinomio en $\mathbb{Q}[x]$ que produce números enteros para entradas de números enteros suficientemente grandes. Entonces afirmo $f$ se puede escribir $$ \sum_{i = 0}^n a_i {x \choose i} $$ donde $$ {x \choose i} = \frac{x(x-1)\ldots(x-i+1)}{i!} $$ y el $a_i$ son números enteros; nótese que esta expresión es $1$ cuando $i = 0$ (porque el numerador es el producto vacío). Esta afirmación demuestra entonces tu resultado, ya que claramente cualquier cosa que se pueda escribir de esta manera tiene tu propiedad.
La prueba: Claramente podemos escribir $f$ de esta manera para algunos racional números $a_i$ . Recuperaremos el $a_i$ y luego argumentar que deben ser enteros. Si $g$ es un polinomio, se establece $$ \Delta g = g(x+1) - g(x). $$ Calculamos (simplemente escribiéndolo) que $$ \Delta {x \choose i} = {x \choose i -1} $$ para $i > 0$ y claramente $\Delta {x \choose 0} = 0$ .
Desde $\Delta$ es lineal, se deduce que \begin{align*} a_0 =& f(0) & \\ a_1 =& (\Delta f)(0)\\ a_2 =& (\Delta^{(2)} f)(0)\\ \ldots \\ a_n =& (\Delta^{(n)}f)(0)\\ \end{align*}
Con estas fórmulas y la inducción sobre el grado de $f$ tenemos que todos los coeficientes menos $a_0$ deben ser enteros (porque los polinomios $\Delta^{(i)}(f)$ tienen menor grado, deben evaluarse a enteros en todos los enteros). Pero entonces $a_0$ debe ser también un número entero, ya que cuando se introduce un número grande se obtiene un número entero más $a_0$ .
