En la secuencia limitada $v_m \in \ell^2$ es $\sup_{n \in \mathbb{N}} \sup_{m \in \mathbb{N}} |v_{m,n}|<\infty$

Question

Dejemos que $v_m \in \ell^2$ sea una secuencia de $\ell^2$ sobre el campo $\mathbb{C}$ tal que $$\lim_{m \to \infty} v_m = v$$ Dejemos que $v_{m,n}$ sea el $n$ -ésimo escalar de la secuencia $v_m$

¿Es cierto que $$ \sup_{n \in \mathbb{N}} \sup_{m \in \mathbb{N}} |v_{m,n}|<\infty $$

Gracias.

Answer 1

Arreglar $\epsilon = 1$ . Desde $v_m \rightarrow v$ en $\ell^2$ entonces se deduce que existe $N$ tal que para todo $m\geq N$ tenemos \begin{align} |v_{m, n}-v_n|\leq \sqrt{\sum^\infty_{k=1}|v_{m, k}-v_k|^2}=\|v_m - v\|_{\ell^2}<1 \end{align} lo que significa \begin{align} |v_{m, n}| \leq 1+|v_n| \leq 1+\|v\|_{\ell^2}=:M_1. \end{align}

Para todos $m< N$ vemos que \begin{align} |v_{m, n}| \leq \max_{1 \leq j < N}\|v_j\|_{\ell^2}=:M_2. \end{align} Así, tenemos para todos $n , m$ \begin{align} |v_{m, n}| \leq \max\left(M_1, M_2 \right). \end{align}