Dejemos que $A$ sea una matriz simétrica positiva definida con valores propios $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ . ¿Podemos expresar los valores propios de $I-A$ utilizando los valores propios de $A$ ? No encuentro las propiedades del valor propio relacionadas con este problema.
Respuesta
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Supongamos que podemos diagonalizar la matriz $A$ . No es necesariamente cierto que podamos, pero si pudiéramos tendríamos todos los valores propios a lo largo de la diagonal. Si restamos la matriz identidad, ¿qué ocurre con cada valor propio?
Ahora bien, en este caso, no es necesariamente cierto que tengamos una representación diagonal, así que consideremos un vector propio $v$ correspondiente a algún valor propio $\lambda$ .
$$ (I-A)v=Iv-Av$$ ¿no es así? $$ Iv=1v, Av=\lambda v.$$ ¿Sabe por qué se mantiene esto? Esto nos da $$ Iv-Av=(1-\lambda)v.$$ ¿Puedes ver ahora lo que ocurre con cada valor propio?
