Demostrando que $\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{-5k}(6k+1)((2k-1)!!)^3}{4(k!)^3} = {1\over\pi}$

Question

Mientras se intenta demostrar que $$(1)\qquad x\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{-5k}(6k+1)((2k-1)!!)^3}{4(k!)^3} = 1 \implies x=\pi$$

He llegado a un punto, usando W|A, en el que tengo que demostrar que $$\color{red}{(2)\qquad \pi = -\frac{8 \left (\sqrt{16-3 K\left ({1\over4} (2-\sqrt{3})\right )^2\, _3 F_2\left ({3\over2}, {3\over2}, {3\over2};\,2, 2;{1\over4}\right )}-4\right )}{\left (3\, _3 F_2\left ({3\over2}, {3\over2}, {3\over2};\,2, 2;\,{1\over4}\right )\right )}}$$

Donde $K(x)$ es la función K elíptica completa, y $_xF_y(a_1 ... a_p;b_1 ... b_q; z)$ es la función hipergeométrica generalizada.

IMPORTANTE: Como ha señalado el usuario153012, es probable que haya un error en $(2)$ Como lo traduje de mathematica a Latex a mano, sólo publicaré la consulta de mathematica para que no haya malentendidos:

-8 (-4 + Sqrt[16 - 3 EllipticK[(2 - Sqrt[3])/4]^2 HypergeometricPFQ[{3/2, 3/2, 3/2}, {2, 2}, 1/4]])/(3 HypergeometricPFQ[{3/2, 3/2, 3/2}, {2, 2}, 1/4])

Aquí hay un LINK a la consulta ( Si W|A muestra un mensaje similar a "Wolfram|Alpha no sabe cómo interpretar su entrada", simplemente vuelva a calcular la consulta refrescando la página o pulsando el botón naranja y blanco $=$ signo ).

Corregiré este error lo antes posible.

¿Hay alguna manera de probar $(2)$ que sea cierto, u otra forma de demostrar $(1)$ para que sea cierto (¿eliminando el doble factorial? No he tenido ningún éxito en hacer esto yo mismo)?

Gracias.

Answer 1

La fórmula,

$$\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{-5k}(6k+1)((2k-1)!!)^3}{4(k!)^3} = \frac{1}{\pi}\tag1$$

o su forma equivalente,

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{(2k)!^3}{k!^6}\frac{6k+1}{(2^8)^{k+1/2}} = \frac{4}{\pi}\tag2$$

y otros similares,

$$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(2k)!^3}{k!^6}\frac{6k+1}{(2^9)^{k+1/2}} = \frac{8}{\pi}\tag3$$

pertenecen a la familia del tipo Ramanujan,

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{(2k)!^3}{k!^6}\frac{Ak+B}{(C)^{k+1/2}} = \frac{1}{\pi}\tag4$$

donde $A,B,C$ son números algebraicos. Sólo hay cuatro fórmulas tales que $A,B,C$ son números enteros. La lista completa se encuentra en ici .

El general caso ya ha sido probado por los Borwein, Berndt o Guillera. Para los detalles específicos, sus documentos se pueden encontrar en línea. Raymond Manzoni ha dado una lista en este Correo electrónico: .