Demostrando que si $C$ es un conjunto compacto $|p-q|=diam(C)$

Question

Ok Así que prueba de esto se hace de esta manera :

Elija las secuencias ${p_n}$ y ${q_n}$ en $C$ con $lim|p_n q_n| = diam(C)$ . Desde $S$ es compacto, $p_n$ tiene una subsecuencia $p_{nk}$ que converge a algún punto $p C$ . Desde $|p_{nk}q_{nk}||p_{nk} p|+|pq_{nk}||p_{nk} p|+diam(C)$ , dejando $k$ obtenemos $diam(C) lim|p q_{nk} | diam(C)$ para que $lim |p q_{nk} | = diam(C)$ . Utilizando de nuevo la compacidad de $S$ concluimos que la secuencia ${r_k}$ dado por $r_k = q_{nk}$ tiene una subsecuencia $r_{kl}$ convergiendo a un punto $q C$ para que $|pq|= lim |pr_{kl}|= lim |pq_{nk}|=diam(C)$

No pude entender el papel de las subsecuencias aquí. ¿Podría alguien aclarármelo? Gracias.

Answer 1

En este caso no es necesario invocar secuencias. Si $(E,d)$ es un espacio métrico con $C\subset E$ compacto, entonces para cada $x\in C$ el mapa $y\mapsto d(x,y)$ es continua y, por tanto, alcanza un máximo en algún $y_x\in C$ . Por la misma lógica, el mapa $x\mapsto d(x,y_x)$ es continua y alcanza un máximo en algún $p\in C$ . Sea $q:= y_p$ . Entonces $$\operatorname{diam} C = \sup_{x,y\ \in\ C}d(x,y) = d(p,q).$$

Answer 2

Utilizando la definición de supremacía, podemos escribir el diámetro como límite de las distancias entre puntos $p_n$ y $q_n$ . Pero no hay ninguna razón a priori para que la secuencia $\left(p_n\right)_{n\geqslant 1}$ converge. Por ejemplo, en el caso de que $C$ es el intervalo unitario cerrado, podríamos elegir $p_n=1/n$ , $q_n=1-1/n$ para $n$ incluso y $p_n=1-1/n$ , $q_n=1/n$ para $n$ impar. Pero estamos seguros de que una subsecuencia converge.