Dejemos que $(G, \cdot)$ sea un grupo finito, con $H \triangleleft G$ y $[G:H]$ primo. ¿Cuáles son las consecuencias de esto?

Question

Tengo un problema en el que me dan estas dos afirmaciones como un hecho. Sin embargo, tengo problemas para averiguar cuáles serían las consecuencias relevantes de estas afirmaciones, ya que sólo he podido determinar una:

• $G/H$ es un grupo, ya que $H \triangleleft G$ ; además, $\left|G/H\right| = [G:H] = p$ donde $p$ es primo, por lo que $G/H$ debe ser cíclico. Esto significa que para todos los $g \in G$ :

\begin{align*} &\quad\; (g \cdot H)^{p} = H \\ &\Leftrightarrow g^{p} \cdot H = H \end{align*}

¿Cuáles son otras consecuencias interesantes de estas afirmaciones? Por favor, no me des una prueba para acompañarlas, ya que preferiría intentar demostrarlas yo mismo.

Answer 1

En general, no se puede decir mucho.

Ej. 1. El grupo $Q_8$ de cuaterniones tiene 3 subgrupos de orden $4$ que son normales y sin embargo no hay ninguna implicación estructural de su índice.

Rem 2. Por otro lado, cuando $|H|$ es coprima con su índice se puede incluso demostrar que $G \cong H \rtimes \mathbb{Z}_p$ .