Te voy a dar dos formas diferentes de demostrarlo.
El primero hace uso de la Ideal primario distributivo principio:
(DPI) Dada una red distributiva $\mathbf L$ y un ideal $J$ y un filtro $G$ de $\mathbf L$ tal que $J \cap G = \varnothing$ existe un ideal primo $I$ y un filtro primario $F=L\setminus I$ tal que $J\subseteq I$ y $G \subseteq I$ .
El principio (DPI) es una forma débil del axioma de elección (AC). De hecho, es equivalente a (AC) $_F$ que establece que toda familia de no vacíos finito tiene una función de elección (véase [Davey&Priestley], página 237).
Ahora, ya tienes un resultado que afirma que una red distributiva $\mathbf L$ puede ser incrustado en $\wp(X)$ , donde $X$ es el conjunto de sus ideales primos (este es el Lemma 10.20 (página 238) en [Davey&Priestley]).
Desde $\wp(Y) \cong 2^Y$ para cualquier conjunto $Y$ (sólo hay que tomar un subconjunto $A$ a la función $\chi_A:Y\to 2=\{0,1\}$ que hace que $\chi_A(y)=1$ si $y\in A$ ), el resultado queda demostrado. De nuevo, este resultado también está en [Davey&Priestley], Teorema 10.21.
( Añadido. En realidad, no necesitamos (DPI) en la prueba anterior (de hecho, ¡no la he utilizado!) porque su uso ya debe estar incorporado en la prueba del resultado mencionado por el OP. Lo interpreté erróneamente como "hay un homomorfismo..." cuando el OP afirma "hay un monomorfismo..."; (DPI) es útil para demostrar que el homomorfismo es uno a uno).
Un enfoque diferente sería mostrar que $\mathbf2$ la red de dos elementos es la única red distributiva (hasta el isomorfismo) que es irreducible en el subdirectorio (y por lo tanto, la variedad de redes distributivas está generada por $\mathbf2$ ) y el hecho de que los retículos son congruentes-distributivos.
Entonces, se puede aplicar este resultado de [Burris&Sankappanavar]:
Corolario 6.10 (Jónsson). Si $\mathcal K$ es un conjunto finito de álgebras finitas y $V(\mathcal K)$ la variedad generada por $\mathcal K$ es congruente-distributiva, entonces las álgebras irreducibles del subdirectorio de $V(\mathcal K)$ están en $$HS(\mathcal K)$$ y $$V(\mathcal K)=IP_S(HS(\mathcal K)).$$
De ello se desprende que $V(\mathbf2)=IP_S(HS(\mathbf2)) \subseteq SP(\mathbf2)$ por lo que todo entramado distributivo es un sub-entramado de una potencia de $\mathbf 2$ , es decir, una subred de $\mathbf2^J$ para algunos $J$ .
(Hazme saber si tienes dificultades con algunos de los resultados auxiliares que estoy utilizando).
[Burris&Sankappanavar] S. Burris y H.P. Sankappanavar, Un curso de Álgebra Universal Edición del Milenio
[Davey&Priestley] B.A. Davey y H.A. Priestley, Introducción a los entramados y al orden , Cambridge University Press, 2ª edición
