Necesito encontrar el gcd de dos polinomios: $f(x) = x^4+1$ y $g(x)=x^2-1$ utilizando el algoritmo euclidiano.
Wolfram muestra que el gcd es igual a $1$ pero por alguna razón no obtengo la misma respuesta.
¿Qué estoy haciendo mal?
Si sus polinomios son más de $\mathbf{R}$ , entonces un gcd de $1$ equivale a un gcd de $2$ (y cualquier otro real no nulo), porque en general los gcds sólo están bien definidos hasta la asociabilidad, es decir, la divisibilidad mutua.
El máximo común divisor de $f$ y $g$ se define (en el caso de los polinomios) como un polinomio $d$ tal que $d$ divide $f$ y $g$ y todo divisor de $f$ y $g$ también divide $d$ .
Así, si tenemos otro polinomio $e$ que se asocia con $d$ (lo que significa que $e|d$ y $d|e$ ), entonces tenemos $e|d|f$ , $e|d|g$ y para cada divisor común $z$ de $f$ y $g$ tenemos $z|d|e$ Así que $e$ también es un gcd de $f$ y $g$ .
En tu caso tienes dos gcds de $1$ y $2$ . Porque $1\cdot 2 = 2$ y $2\cdot\frac12=1$ tienes $1|2$ y $2|1$ Así que $1$ y $2$ están asociados, por lo que si $1$ es un gcd, también lo es $2$ y viceversa.
Nótese que es posible normalizar el gcd de los polinomios exigiendo que el primer coeficiente no nulo sea $1$ , que es lo que presumiblemente hace Wolfram|Alpha.
Obsérvese que los gcds se conservan bajo el escalado por unidades (invertibles) porque esto es válido para la divisibilidad, es decir, si $\,u\,$ es una unidad, entonces $\,ua\mid b\iff a\mid b\iff a\mid ub.\,$ Por lo tanto, escalar un gcd por una unidad no altera sus múltiplos ni sus divisores, por lo que sigue siendo un gcd (es decir, un divisor común que es mayor divisibilidad -wise, es decir, divisible por cada divisor común; dicho de forma equivalente $\, c\mid a,b \!\iff\! c\mid \gcd(a,b),\, $ la definición universal del gcd)
A menudo es conveniente escalar gcds por una unidad a un forma normal Por ejemplo, en $\,\Bbb Z\,$ normalizamos gcds $\ge 0,\,$ y en un anillo polinómico $\,K[x]\,$ sobre un campo, los normalizamos para que sean mónicos (coeficiente de plomo $\,c_n = 1),\,$ escalando el polinomio por $\,c_n^{-1}\,$ si es necesario (por tanto, un gcd constante $\,c_0\neq 0$ se normaliza a $1).\,$ Sin embargo, un bonito normalización de unidades no tiene por qué existir en todos los dominios, por lo que generalmente los gcds sólo se determinan hasta los múltiplos de la unidad, es decir, hasta la asociabilidad, por lo que, por ejemplo $\,\gcd(a,b)\approx 1$ significa que el gcd está asociado a $1$ , es decir, es una unidad, es decir $\,c\mid a,b\iff c\mid 1.$
Ver ici para seguir discutiendo.
Si se aplica el algoritmo euclidiano a $p(x)$ y $q(x)$ y el último resto no nulo es $44$ entonces hay polinomios $\alpha(x)$ y $\beta(x)$ tal que $\alpha(x)p(x)+\beta(x)q(x)=44$ . Pero entonces $\frac{\alpha(x)}{44}p(x)+\frac{\beta(x)}{44}q(x)=1$ . Así que, $1$ es también un máximo común divisor de $p(x)$ y $q(x)$ . En realidad, si $r(x)$ es a mayor común divisor de $p(x)$ y $q(x)$ entonces también lo es $\frac{r(x)}k$ , donde $k$ es el coeficiente del monomio con mayor exponente en $r(x)$ . Entonces $\frac{r(x)}k$ es un monic y es habitual trabajar con un polinomio mónico cuando trabajamos con los máximos comunes divisores de dos polinomios.
El principio general detrás de esto es el concepto de unidades en un anillo (con un $1$ -elemento): https://en.wikipedia.org/wiki/Unit_(teoría_del_anillo)
Una unidad es un elemento del anillo que divide $1$ (el elemento neutro multiplicativo). Cuando se trata sólo de la multiplicación (como en este caso), los elementos que difieren sólo en una unidad tienen exactamente el mismo comportamiento en cuanto a la divisibilidad (asumo un anillo conmutativo aquí):
Si $u$ es una unidad y $x=yu$ entonces $x$ y $y$ dividen exactamente los mismos elementos del anillo:
$$x|a \iff \exists f:fx=a \Rightarrow (fu)y=a \Rightarrow y|a$$
y con $u'={1\over u}$ tenemos $y=xu'$ y obtenemos similarmente
$$y|a \iff \exists f:fy=a \Rightarrow (fu')x=a \Rightarrow x|a.$$
Se puede demostrar de manera muy similar, que exactamente los mismos elementos del anillo dividen $x$ y $y$ .
Así que para decir esto de nuevo, con respecto a la divisibilidad, $x$ y $y$ tienen exactamente las mismas propiedades.
Eso significa que si usted encuentra por algún cálculo que $\gcd(a,b)=x$ entonces también se puede decir $\gcd(a,b)=y$ (siempre asumiendo que $x=yu$ con $u$ siendo una unidad). Esto significa que el $\gcd$ ¡sólo se determina hasta una unidad!
Al comenzar con estos temas de divisibilidad y $\gcd$ etc. con $\mathbb Z$ , esto se suele ignorar, ya que las únicas unidades de $\mathbb Z$ son $1$ y $-1$ y la presentación general de estos temas se centra en los números enteros positivos, por lo que el $-1$ se ignora.
Volviendo a su problema, el anillo en cuestión es ${\mathbb Q[x]}$ . Es fácil comprobar que en ese anillo las unidades son exactamente los polinomios constantes no nulos. Eso significa que cualquier $\gcd$ sólo se determina hasta una unidad (=polinomio constante). Es igual de válido afirmar que el $\gcd$ es igual al polinomio $p(x)=1$ o $q(x)=15$ o $r(x)=-2019.0319$ o cualquier otra constante que se te ocurra.
Como se ha dicho en las otras respuestas, utilizando el polinomio con el coeficiente principal igual a $1$ es una convención general para poder comparar fácilmente los resultados. Es lo mismo (una convención) que escribir una mitad normalmente como ${1 \over 2}$ y no el igualmente válido ${-17 \over -34}$ .
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