Encontrar el coeficiente de x en una función generadora

Question

El problema es el siguiente:

$\text{Determine the coef. of } x^{10} \text{ in } (x^3 + x^5 + x^6)(x^4 + x^5 + x^7)(1+x^5+x^{10}+x^{15}+...)$

He calculado algunos $x$ 's, para obtener
$x^3(1+x^2+x^3)x^4(1+x+x^3)(1+x^5+x^{10}+x^{15}+...)$

y luego combinamos los términos factorizados para obtener
$x^7(1+x^2+x^4)(1+x+x^3)(1+x^5+x^{10}+x^{15}+...)$

Ahora no sé qué hacer; por lo general acaba siendo un factor de $(1+x+x^2+...)$ pero no parece ser el caso aquí.

Answer 1

De la suma $\frac{1}{1-x^5}$ sólo tienes que tener en cuenta los dos primeros términos - otros te darán un poder superior. $10 = x_1 +x_2+ x_3$ (con términos las tres sumas). ¿Puede identificar $x_k$ ?

Answer 2

Sugerencia : coeficiente de $x^3$ en $(1+x^2+x^3)(1+x+x^4)(1+x^5+x^{10}+x^{15}+...)$ es $2$ porque $x^3=x^3\times 1 \times 1, x^3= x^2\times x \times 1$

Answer 3

Multiplicando los dos primeros factores se encuentra: $x^7+ x^8+x^9+2x^{10} + $ otros monomios de grado $n>10$ y, al multiplicar dicho polinomio por el tercer factor, se ve que el único monomio en $x^{10}$ tiene un coeficiente $2$ ya que todos los demás términos tienen exponentes $n=7,8,9$ o $n>10$ .

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Una pista:

El OP ha cambiado: así que para esta versión la respuesta es:

Multiplicando los dos primeros factores se encuentra: $x^7+ x^8+x^9+3x^{10} + $ otros monomios de grado $n>10$ y, al multiplicar dicho polinomio por el tercer factor, se ve que el único monomio en $x^{10}$ tiene un coeficiente $3$ ya que todos los demás términos tienen exponentes $n=7,8,9$ o $n>10$ .