¿Una desigualdad entre integrales definidas implica una desigualdad entre la derivada wrt un exponente?

Question

Tengo dos cdfs, ambas distribuidas sobre 0 a 1. Llamémoslas $F(x)$ y $G(x)$ .

Si sé que $$\int_0^1 F(x) \,dx < \int_0^1 G(x) \,dx$$

entonces, ¿se deduce que

$$ \left|\frac{d}{dn} \int_0^1 F(x)^n \,dx\right| > \left|\frac{d}{dn}\int_0^1 G(x)^n \,dx\right|$$ donde $n$ ¿es un número real positivo >1? (antes decía entero pero lo he corregido debido a los comentarios)

Yo pensaría que este sería el caso, porque el exponente tendrá un mayor efecto en una fracción más pequeña, y $F$ tiene que tener fracciones más pequeñas en promedio. Pero, por lo general, cada vez que digo "yo pensaría que esto es así" me equivoco y no pienso en algo.... así que planteo la pregunta a la impresionante comunidad de SE...

Answer 1

Para cada FCD $F$ en $[0,1]$ y no negativo $s$ , dejemos que $I_s(F)=\displaystyle\int\limits_0^1 F^s(1-F)$ . Usted se pregunta si $I_0(F)>I_0(G)$ implica que, para todo número real positivo $n$ , $I_n(G)>I_n(G)$ (o tal vez $n$ es un número entero y/o quizás $n>1$ ).

Mi primera reacción es preguntar por qué debería ser así. Mi segunda reacción es señalar que, si esto fuera cierto, entonces $I_0(F)=I_0(G)$ implicaría $I_n(G)=I_n(G)$ por cada $n$ Una observación que refuerza mi escepticismo. Mi tercera y última reacción es buscar un contraejemplo sencillo.

Dejemos que $F(x)=\sin(\pi x/2)^2$ y $G(x)=x^a$ para un determinado positivo $a$ . Entonces $I_0(F)=1/2$ y $I_0(G)=a/(a+1)$ por lo que cada $a<1$ rinde $F$ y $G$ tal que $I_0(F)>I_0(G)$ .

Y $I_1(F)=1/8$ mientras que $I_1(G)=a/((a+1)(2a+1))$ por lo que $I_1(F)<I_1(G)$ por cada $a$ tal que $8a>(a+1)(2a+1)$ . Considere por ejemplo $a=1/2$ .