Qué son los puntos fijos de la transformada de Fourier

Question

Las obvias son 0 y $e^{-x^2}$ (con factores molestos), y alguien que conozco sugirió la secante hiperbólica. ¿Qué otros puntos fijos (o incluso funciones propias) de la transformada de Fourier existen?

Answer 1

Lo siguiente se discute con un poco más de detalle en las páginas 337-339 del libro de Frank Jones "Lebesgue Integration on Euclidean Space" (y en muchos otros lugares también).

Normalizar la transformada de Fourier para que sea un operador unitario $T$ en $L^2(\mathbb{R})$ . A continuación, se puede comprobar que $T^4=1$ . Los valores propios son, por tanto, los siguientes $1$ , $i$ , $-1$ y $-i$ . Para $a$ uno de estos valores propios, denotando por $M_a$ el correspondiente eigespacio. Resulta entonces que $L^2(\mathbb{R})$ es la suma directa de estos $4$ ¡eigenspaces!

De hecho, esto es álgebra lineal fácil. Consideremos $f \in L^2(\mathbb{R})$ . Queremos encontrar $f_a \in M_a$ para cada uno de los valores propios tales que $f = f_1 + f_{-1} + f_{i} + f_{-i}$ . Utilizando el hecho de que $T^4 = 1$ obtenemos las siguientes 4 ecuaciones en 4 incógnitas:

$f = f_1 + f_{-1} + f_{i} + f_{-i}$

$T(f) = f_1 - f_{-1} +i f_{i} -i f_{-i}$

$T^2(f) = f_1 + f_{-1} - f_{i} - f_{-i}$

$T^3(f) = f_1 - f_{-1} -i f_{i} +i f_{-i}$

Al resolver estas cuatro ecuaciones se obtienen los correspondientes operadores de proyección. Como ejemplo, para $f \in L^2(\mathbb{R})$ , obtenemos que $\frac{1}{4}(f + T(f) + T^2(f) + T^3(f))$ es un punto fijo para $T$ .

Answer 2

Siguiendo un poco la línea de Comentario de Andy , Polinomios de Hermite (multiplicado por un factor de Gauss) dan una base de vectores propios para el FT como operador sobre $L^2({\mathbb R})$

Answer 3

Una lista más completa de funciones de Fourier autoreciprocas particulares, es decir, funciones propias de la transformada de Fourier del coseno:

$1.$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}$

$2.$ $\displaystyle e^{-x^2/2}$ (y más generalmente $e^{-x^2/2}H_{2n}(x)$ , donde $H_n$ es el polinomio de Hermite)

$3.$ $\displaystyle\frac{1}{\cosh\sqrt{\frac{\pi}{2}}x}$

$4.$ $\displaystyle \frac{\cosh \frac{\sqrt{\pi}x}{2}}{\cosh \sqrt{\pi}x}$

$5.$ $\displaystyle\frac{1}{1+2\cosh \left(\sqrt{\frac{2\pi}{3}}x\right)}$

$6.$ $\displaystyle \frac{\cosh\frac{\sqrt{3\pi}x}{2}}{2\cosh \left( 2\sqrt{\frac{\pi}{3}} x\right)-1}$

$7.$ $\displaystyle \frac{\cosh\left(\sqrt{\frac{3\pi}{2}}x\right)}{\cosh (\sqrt{2\pi}x)-\cos(\sqrt{3}\pi)}$

$8.$ $\displaystyle \cos\left(\frac{x^2}{2}-\frac{\pi}{8}\right) $

$9.$ $\displaystyle\frac{\cos \frac{x^2}{2}+\sin \frac{x^2}{2}}{\cosh\sqrt{\frac{\pi}{2}}x}$

$10.$ $\displaystyle \sqrt{x}J_{-\frac{1}{4}}\left(\frac{x^2}{2}\right)$

$11.$ $\displaystyle \frac{\sqrt[4]{a}\ K_{\frac{1}{4}}\left(a\sqrt{x^2+a^2}\right)}{(x^2+a^2)^{\frac{1}{8}}}$

$12.$ $\displaystyle \frac{x e^{-\beta\sqrt{x^2+\beta^2}}}{\sqrt{x^2+\beta^2}\sqrt{\sqrt{x^2+\beta^2}-\beta}}$

Ejemplos $1-5,8-10$ son del capítulo sobre funciones autorreciprocas del libro de Titschmarsh "Introducción a la teoría de la transformada de Fourier". Ejemplos $11$ y $12$ se encuentran en Gradsteyn y Ryzhik. Ejemplos $6$ y $7$ son de esta pregunta ¿Qué son todas las funciones de la forma $\frac{\cosh(\alpha x)}{\cosh x+c}$ ¿autorreciprocidad bajo la transformada de Fourier? que empecé en el intercambio de pilas de matemáticas.

Estoy tratando de recopilar todos estos ejemplos interesantes en un solo lugar, así que si alguien conoce otros ejemplos, no dude en añadirlos en este post o en los comentarios más abajo.

Answer 4

Un muy importante punto fijo de la transformada de Fourier que no está en $L^2$ es el peine de Dirac de distribución, de manera informal $$D(x) = \sum_{n\in Z} \delta(x-n),$$ o, más propiamente, que se define por su vinculación en las funciones lisas de desintegración suficiente por $$\langle D, f\rangle = \sum_{n\in Z} f(n).$$ El hecho de que $D$ es igual a la transformada de Fourier es realmente la sumación de Poisson fórmula.

(Escribí un argumento que explica por qué $D$ debe ser el propio de la transformada de Fourier de una respuesta a otra pregunta: la Verdad de la sumación de Poisson fórmula)