1 votos

Integración de una función proporcionada como función implícita

Sea una función diferenciable $f$ cumple la regla funcional $$f(xy) = f(x) + f(y) + xy - x -y $$ para todos los valores de $x,y > 0$ y $f'(1)=4$ .

A partir de esta afirmación se plantearon tres preguntas:

  1. Si $f(x_0)=0$ entonces $x_0$ se encuentra en el intervalo $$ (a) (0,1) \\ (b) (1,e) \\ (c) (e, e^2) \\ (d) (e^2,e^3) $$

  2. $\int\frac{f(x)}{x}dx$ es igual a: $$ (a) 3(\ln x)^2 + x + c \\ (b) 3(\ln x) + x + c \\ (c) 1.5(\ln x)^2 + x + c \\ (d) 1.5(\ln x) + x + c $$

  3. Si $\int{e^{f(x)}}dx = e^x(ax^3 + bx^2 + cx + d) + \lambda$ entonces el valor de $(a+b+c+d)$ es igual a: $$ (a) -1 \\ (b) -2 \\ (c) 3 \\ (d) 6 $$

Mi intento : No tenía ni idea de cómo tratar la función implícita. Cualquier pista o sugerencia para manejar este tipo de pregunta habría sido extremadamente útil. Gracias por darme las indicaciones. Intentaré actualizar las soluciones completas pronto.

2voto

yahoo Puntos 177

Diferenciar $f(xy) = f(x) + f(y) + xy - x -y$ de la $y$ variable: $$ xf'(xy)=f'(y)+x-1. $$ Dejemos que $y=1$ entonces obtenemos $$ xf'(x)=f'(1)+x-1 $$ Desde $f'(1)=4$ obtenemos $$ f'(x)=\frac{3}{x}+1 $$ Por lo tanto, $$ f(x)=3\ln x +x+c $$ donde $c$ es una constante arbitraria. Sea $x=y=1$ en la ecuación original obtenemos $f(1)=1$ por lo que podemos obtener $c=0$ Por lo tanto $$ f(x)=3\ln x+x. $$ Lleva esto a la ecuación para examinar si satisface la condición. Ahora puedes resolver la pregunta directamente.

0voto

Jens Schwaiger Puntos 11

La ecuación en sí puede resolverse sin ninguna condición de regularidad observando que $g$ , $g(x):=f(x)-x$ satisface el logarítmico ecuación $g(xy)=g(x)+g(y)$ para $g\colon (0,\infty)\to\mathbb{R}$ . Por lo tanto, hay algo de aditivo función $a\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es decir, $a$ satisface $a(x+y)=a(x)+a(y)$ para todos los reales $x,y$ , de tal manera que $g(x)=a(\ln x)$ para todos $x>0$ . Así, $f$ con $f(x):=a(\ln x)+x$ es la solución general. Si $f$ se supone que es regular por ejemplo continua, la función $a$ tiene que ser de la forma $x\mapsto c x$ con alguna constante $c$ . Por lo tanto, en particular, holde cierto Si $f$ es diferenciable. En ese caso, la condición sobre $f'$ resultados en forma de $f$ como se indica en la otra respuesta.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X