Coordenadas Eddington-Finkelstein: Geodésicas radiales similares al tiempo que caen en un agujero negro

Question

Estoy tratando de obtener una expresión para las geodésicas radiales de tiempo en coordenadas EF: $$g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right)dv^2 +2dvdr +r^2d\Omega^2$$ para un observador inicialmente estacionario en $r_0 > 2GM$ cayendo en un agujero negro con una velocidad de 4 $u^\mu = (\dot v(\lambda), \dot r(\lambda),0,0)$ .

Sé que $\xi^\mu \partial_\mu = \partial_v$ es un vector de muerte con $\xi^\mu = (1,0,0,0)$ y por lo tanto $\xi_\mu = \left(-\left(1- \frac{2GM}{r} \right),0,0,0 \right)$ . La condición de conservación y la normalización de la cuatro-velocidad da un sistema de ecuaciones:

$$g_{\mu\nu}\xi^\mu u^\nu = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right)\dot v = C_0$$

$$g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right)\dot v^2 +2\dot v \dot r = -1 $$

He resuelto para $\dot r$ y luego utilizar la condición inicial $\dot r (r=r_0)= 0$ para conseguir $C_0 = \sqrt{1-\frac{2GM}{r_0}}$ . Entonces conecté $C_0$ en la primera ecuación, dando como resultado:

$$\dot r = \frac{-1}{2C_0}\left(\frac{2GM}{r}-\frac{2GM}{r_0}\right) $$

$$\dot v = - \frac{C_0}{1-\frac{2GM}{r}}$$

$$\frac{\dot v}{\dot r} = \frac{dv}{dr} = \frac{1}{2\left(1-\frac{2GM}{r}\right) \left(\frac{2GM}{r}-\frac{2GM}{r_0}\right)}$$

Sin embargo, estas ecuaciones no parecen tener sentido para mí. Por un lado, ya que $\frac{dr}{d\lambda}$ se normaliza, integrándolo desde $r_0$ a $0$ debería dar el tiempo adecuado que se necesita para alcanzar la singularidad, pero la integral parece divergir en $r = r_0$ . Además, $\frac{dv}{dr}$ va al infinito en $r=2GM$ al igual que con la métrica schwarzchild, que es lo que pensé que esta métrica debía eliminar.

¿Alguna idea de dónde ha fallado este cálculo?

Answer 1

Has obtenido las componentes de tu campo vectorial de muerte $\xi_\mu$ mal. Desde $\xi^\mu=(1,0,0,0)$ , bajando ese índice con la métrica $$g_{\mu\nu}=\begin{bmatrix}\frac{2GM}{r}-1&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&r^2&0\\ 0&0&0&r^2\sin^2\theta\end{bmatrix}$$ en realidad nos da $\xi_\mu=g_{\mu\nu}\xi^\nu=(\frac{2GM}{r}-1,1,0,0).$ Nuestra 4-velocidad $u^\mu(\tau)$ entonces obedece $$\xi_\mu u^\mu=\left(\frac{2GM}{r}-1\right)\dot v+\dot r=-C$$ para alguna constante $C>0$ . Ten en cuenta que estamos punteando dos vectores temporales, por lo que deberíamos obtener algo negativo. Su solución a $C$ era del signo equivocado. La otra condición es \begin{align} u_\mu u^\mu&=\left(\frac{2GM}{r}-1\right)\dot v^2+2\dot v\dot r=-1\\ &=\dot v(\dot r-C). \end{align}

Cuando $r=r_0,\dot r=0,$ obtenemos $\dot v = \left(1-\frac{2GM}{r_0}\right)^{-\frac{1}{2}},$ permitiéndonos precisar $C=\sqrt{1-\frac{2GM}{r_0}}$ de nuevo. Introduzco las ecuaciones en Mathematica y resuelvo \begin{align} \dot v&=\frac{r\sqrt{1-\frac{2GM}{r_0}}-\sqrt{2GMr\left(1-\frac{r}{r_0}\right)}}{r-2GM},\\ \dot r&=-\sqrt{2GM\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)},\\ \frac{\dot v}{\dot r}=\frac{dv}{dr}&=\frac{r\left(\sqrt{\frac{r\left(\frac{r_0}{2GM}-1\right)}{r_0-r}}-1\right)}{2GM-r}. \end{align}

Acercándose al horizonte de sucesos, \begin{align} \lim_{r\to2GM}\dot v&=\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{2GM}{r_0}}}=\frac{1}{2C},\\ \lim_{r\to2GM}\dot r&=-\sqrt{1-\frac{2GM}{r_0}}=-C,\\ \lim_{r\to2GM}\frac{\dot v}{\dot r}=\lim_{r\to2GM}\frac{dv}{dr}&=\frac{r_0}{4GM-2r_0}=-\frac{1}{2C^2}, \end{align} por lo que parece que no hay una singularidad de coordenadas aquí. ¡Éxito! Introduzcamos algunos números y hagamos que Mathematica calcule cuánto tiempo llevaría alcanzar la singularidad de un agujero negro solar ( $M=1\,\textrm{M}_\odot$ ) si dejamos caer una sonda desde el radio orbital de la Tierra ( $r_0\approx1\,\textrm{AU}$ ): $$\int_{r_0}^0\frac{d\tau}{dr}dr=\int_{r_0}^0\frac{1}{\dot r}dr\approx64.6\,\mathrm{days}.$$

¿Cómo debemos verificar este resultado? Volvamos a realizar este procedimiento con la métrica en coordenadas de Schwarzschild $(t,r,\theta,\phi)$ que se relaciona con EF mediante $t=v-r-2GM\ln\left|\frac{r}{2GM}-1\right|$ . Sabemos que $$g_{\mu\nu}=\begin{bmatrix}\frac{2GM}{r}-1&0&0&0\\0&\frac{1}{1-\frac{2GM}{r}}&0&0\\0&0&r^2&0\\0&0&0&r^2\sin^2\theta\end{bmatrix},$$ y también encontramos un campo vectorial de Killing $\xi^\mu=(1,0,0,0)$ con $\xi_\mu=(\frac{2GM}{r}-1,0,0,0).$ Si una geodésica viene dada por $x^\mu(\tau)=(t(\tau),r(\tau),0,0)$ con 4 velocidades $u^\mu=(\dot t,\dot r,0,0),$ obtenemos las siguientes ecuaciones: \begin{align} \xi_\mu u^\mu&=\left(\frac{2GM}{r}-1\right)\dot t=-C,\\ u_\mu u^\mu&=\left(\frac{2GM}{r}-1\right)\dot t^2+\frac{\dot r^2}{1-\frac{2GM}{r}}=-1\\ &=\frac{\dot r^2}{1-\frac{2GM}{r}}-C\dot t. \end{align} En $r=r_0,\dot r=0$ encontramos el mismo $C=\sqrt{1-\frac{2GM}{r_0}}.$ Esto da la misma $$\dot r=-\sqrt{2GM\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)},$$ así que parece que hemos hecho algo bien.