Por qué el álgebra lineal es divertida (o ?)

Question

Editar: el cartel original es Menny pero la pregunta es CW; el pronombre en primera persona se refiere a Menny, no al editor más reciente.

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Estoy dando una charla introductoria al álgebra lineal con el siguiente objetivo: quiero dar a los alumnos un ejemplo concreto a través del cual puedan ver cómo muchas nociones surgen de forma "natural". Nociones como espacios vectoriales, el vector cero, span, dependencia e independencia lineal, base, dimensión, bases "buenas", resolución de ecuaciones lineales, e incluso mapas lineales y vectores propios. Una cuestión de MO relacionada es Pruebas de álgebra lineal en combinatoria .

El objetivo de este post es encontrar algunos ejemplos más "concretos", "reales" y "naturales" en este espíritu que puedan interesar a todos los que aman lo que hacemos (y darles motivación para aprender nuevas definiciones y formalismos). Así que si tienes algunas ideas, ¡por favor, publícalas! Gracias, Menny

Answer 1

La teoría de los códigos de corrección de errores es un contexto muy agradable y elemental para introducir el álgebra lineal, suponiendo que los alumnos conozcan $\mathbb{F}_2$ . La noción de que cada mensaje de longitud de bits $n$ puede codificarse como un "vector" sobre $\mathbb{F}_2$ de dimensión $m > n$ El uso de algunas condiciones lineales ("subespacio lineal") para facilitar las condiciones de comprobación de errores, debería ser bastante motivador. Conceptos como "transformaciones lineales" (matrices) y "espacios nulos" aparecen de forma natural al considerar la matriz de comprobación de paridad del código. Etcétera, Etcétera.

Answer 2

Me gusta utilizar el ejemplo de los cuadrados mágicos cuando empiezo a repasar el álgebra lineal, normalmente empezando por $3\times 3$ cuadrados. Son una bonita cosa matemática recreativa que todo el mundo ha visto antes, pero en la que no se suele pensar.

Cuando se les pide un ejemplo, la mayoría de los estudiantes salen con algo como $\pmatrix{6&1&8\cr 7&5&3\cr 2&9&4}$ recordando una construcción de antes. Cuando se le pida un segundo ejemplo, alguien podría sugerir girar o reflejar este ejemplo. Una vez que se sugiere que sólo queremos que las filas, columnas y diagonales sumen lo mismo, y que los números no tienen que ser distintos, alguien suele pensar en $\pmatrix{1&1&1\cr 1&1&1\cr 1&1&1}$ .

Entonces suele quedar claro que las combinaciones lineales de lo que tenemos hasta ahora también funcionarán, y esto nos lleva naturalmente a preguntarnos cuántos cuadrados necesitamos en una base, y así sucesivamente. (Entonces les pido que calculen la dimensión del espacio de $n\times n$ cuadrados mágicos como tarea).

Otro uso "inesperado" del álgebra lineal es cuando se les pide que demuestren que cosas como $\sqrt2+\sqrt3$ o $\sqrt2 + \sqrt[3]2$ son algebraicas. Muchos toquetean hasta que dan con un arreglo que funciona, pero a todos les gusta que les mostremos que basta con tomar unas cuantas potencias y decir "oh, alguna combinación de ellas servirá". Esto suele ir bien, ya que a la gente le gusta jugar con los números.

Answer 3

Creo que los determinantes merecen una atención especial no sólo porque son buenos indicadores de si una determinada matriz tiene rango completo. El famoso ejemplo es el Determinante de Vandermonde (con aplicación, por ejemplo, al Interpolación de Lagrange ) pero por favor haga una breve mirada a la Cálculo de determinantes avanzado y Cálculo Determinante Avanzado: Un complemento por Christian Krattenthaler. Los métodos de cálculo de determinantes, así como sus numerosas aplicaciones en el ámbito de las matemáticas, pertenecen a Arts....

Answer 4

He aquí un divertido problema de un reciente examen de álgebra lineal en mi universidad.

Mientras están en la universidad, todos los estudiantes están en clase, en la biblioteca o en el bar. Una investigación detallada realizada por la dirección de la universidad ha demostrado que si un estudiante está en clase un minuto, después de cinco minutos tiene un 60% de posibilidades de seguir en clase, un 20% de estar en la biblioteca y un 20% de estar en el bar. Del mismo modo, si el alumno está en la biblioteca a una hora determinada, entonces tiene un 30% de probabilidades de estar en clase dentro de cinco minutos, un 40% de probabilidades de seguir en la biblioteca y un 30% de probabilidades de estar en el bar. Por último, si el alumno está en el bar, entonces tiene un 10% de probabilidades de estar en clase dentro de cinco minutos, un 10% de probabilidades de estar en la biblioteca y un 80% de probabilidades de permanecer en el bar. ¿Qué porcentaje de estudiantes se espera que estén en el bar después de mucho tiempo?

Así que es un problema de cadena de Markov, que puede utilizarse para motivar matrices, vectores, multiplicación de matrices, valores propios y vectores propios.

Answer 5

Ayer Sólo me enteré de La desigualdad de Fisher y creo que es un buen ejemplo para mostrar la aplicación de los cálculos de rango.

El problema es el siguiente:

Fisher, genetista de poblaciones y estadístico, se ocupó del diseño de experimentos que estudiaban las diferencias entre varias variedades distintas de plantas, en cada una de las diferentes condiciones de cultivo, llamadas "bloques".

Déjalo:

 v be the number of varieties of plants;
 b be the number of blocks.

Se requería que:

1 k different varieties are in each block, k < v; no variety occurs twice in any one block;

2 any two varieties occur together in exactly λ blocks;

3 each variety occurs in exactly r blocks.

La desigualdad de Fisher establece simplemente que $v \leq b$ .

Y su demostración (dada a continuación) implica álgebra lineal básica.

Sea la matriz de incidencia $M$ ser un $v×b$ definida de manera que $M_{i,j}$ es 1 si el elemento $i$ está en el bloque $j$ y $0$ si no es así. Entonces $B=MM^T$ es un $v×v$ matriz tal que $B_{i,i}=r$ y $B_{i,j}=λ$ para $i \neq j$ . Desde $r\neq \lambda$ , $det(B) \neq 0$ Así que $rank(B) = v$ ; por otro lado, $ rank(B) \leq rank(M) \leq b$ Así que $v \leq b$ .

No he podido enlazar directamente con la página de Wikipedia, así que he tenido que pegar aquí la pregunta y la respuesta. Disculpas por ello.