(a) Que $G$ tienen un crecimiento polinómico de grado d. Sea la función de crecimiento polinómico de G bajo el conjunto generador S dada por $\gamma_S(n)\leq c_1n^d$ . ¿Implica esto que bajo cualquier otro conjunto generador T, $\gamma_T(n)\leq c_2n^d$ , posiblemente con $c_2 \neq c_1$ ?
Supongamos que no, entonces $$\gamma_S(n)\leq c_2n^d<\gamma_T(n)\leq c_1n^d$$ Estoy tratando de encontrar algo aquí que lleve a la contradicción.
Todo lo que tengo de esto es que para algunos fijos $n$ , $\mid B_S(n)\mid\leq \mid B_T(n)\mid$ donde $B_S(n)$ es la bola de radio $n$ en $S$ . Esto implica que $$\exists g\in G: g\in B_T(n) \text{ and } g\notin B_S(n)$$ Así, $g=t_1t_2...t_n$ para $t_i\in T$ pero $g$ requiere más que $n$ elementos para ser descritos como una palabra en $S$ .
También sé que $$l_S(g)\leq max\{l_S(y):y\in T\}*l_T(g)=max\{l_S(y):y\in T\}*n$$ donde $l_s(g)$ es la longitud de una palabra con respecto a $S$ . Quizás esto pueda llevar a una contradicción ya que pone un límite a la longitud de $g$ en relación con $S$ . Pero no veo ninguno.
