Intenté : A partir del tercer teorema de isomorfismo tenemos $\frac{\mathbb{Z}[x]}{(2,x^2+x+1)} \cong \frac{\mathbb{Z}[x]/(2)}{(2,x^2+x+1)/(2)}$ Si podemos probar 1: $(2,x^2+x+1)/(2) \cong ( \overline {x^2+x+1}) $ y 2: $\frac{\mathbb{Z}[x]/(2)}{(2,x^2+x+1)/(2)} \cong \frac{\mathbb{Z}_{2}[x]}{(\overline {x^2+x+1})}$ entonces porque $\overline {x^2+x+1} $ no tiene raíz en $\mathbb{Z}_{2}[x] $ por lo que es irreductible y son campos, entonces hemos terminado. Puedo demostrar la segunda afirmación, pero no puedo demostrar la primera. No sé si esta es una dirección de prueba correcta. Podría alguien ayudarme, gracias.
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Puedes usar esto. $\mathbb Z[x]/(2) \cong (\mathbb Z/2) [x]$ El mismo isomorfismo toma $\frac {(2, x²+x+1) }{(2)}$ a $(x²+x+1) $ en $\mathbb Z/2[x]$ así que $\mathbb Z[x]/(2, x²+x+1) \cong \mathbb Z/2[x]/(x²+x+1) $ . Aquí estoy usando si $A\cong B$ y el isomorfismo toma $I$ a $J$ entonces induce un isomorfismo $A/I \cong B/J$ .
vbNewbie
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Robert Lewis
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Es bien sabido que los ideales máximos de $\Bbb Z[z]$ son de la forma $(p, f(x))$ donde $p \in \Bbb Z$ es un primo y $f(x) \in \Bbb Z[x]$ es irreducible mod $p$ . Véase, por ejemplo https://web.ma.utexas.edu/users/voloch/Homework/zx.pdf . Aplicamos este resultado al presente problema, con $p = 2$ et
$f(x) = x^2 + x + 1; \tag 1$
desde
$\deg f(x) = 2, \tag 2$
$f(x)$ es reducible módulo $p = 2$ si y sólo si tiene un cero en
$\Bbb Z \mod 2 = \Bbb Z_2, \tag 3$
pero se ve fácilmente que no es así, a través de evaluación directa de $f(x)$ en $\Bbb Z_2$ :
$f(0) = 0^2 + 0 + 1 = 1 \mod 2, \tag 4$
$f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 1 \mod 2; \tag 5$
por lo tanto $f(x)$ es irreducible módulo $2$ y se puede invocar el teorema citado para concluir que $(2, x^2 + x + 1)$ es máxima en $\Bbb Z_[x]$ .
