¿En qué generalidad es el mapa natural $\textrm{Hom}_R(L,M)\otimes S \to \operatorname{Hom}_{R \otimes S}(L\otimes S, M \otimes S) $ ¿un isomorfismo?

Question

Nota: Una versión de esta pregunta ha sido reenviada a MathOverflow .

Sea $k$ sea un anillo conmutativo, $R$ y $S$ conmutativa $k$ -álgebras. Sea $L$ y $M$ sea $R$ -módulos.

A menos que esté muy equivocado, hay un mapa natural $$\operatorname{Hom}_R(L,M)\otimes_k S \to \operatorname{Hom}_{R \otimes_k S}(L\otimes_k S, M \otimes_k S)$$ donde $\phi \otimes s$ define el $(R \otimes_k S)$ -morfismo $$l \otimes s_1 \mapsto \phi(l) \otimes s s_1.$$ Basándome en un recuento de dimensiones, creo que este mapa es un isomorfismo bajo hipótesis suficientemente agradables.

¿Bajo qué hipótesis es este mapa natural un isomorfismo? En particular, ¿es necesario suponer que algunos o todos los módulos son (localmente) libres y/o finitamente generados?

También voy a tomarme la libertad de formular una pregunta adicional de carácter más general. Cuando estoy tratando de seguir un argumento que implica una "igualdad" inexplicable de dos expresiones que implican producto tensorial y/o Hom, a menudo me encuentro queriendo escribir pasos intermedios como el anterior, o la afirmación $$(M \otimes_k S) \otimes_{R \otimes_k S} (N \otimes_k R) = M \otimes_k N$$ para $M$ un $R$ -y $N$ un $S$ -módulo. En esta situación, tiendo a encontrarme pensando: "Esto parece familiar y plausible, y puedo escribir algo sobre tensores simples que probablemente define un mapa natural en al menos una dirección, pero no puedo recordar con seguridad si esto es realmente un isomorfismo bajo mis hipótesis." ¿Existe una buena "hoja de trucos" (idealmente una referencia que esté legalmente disponible en línea) para este tipo de cosas?

Answer 1

Me parece que este mapa es un isomorfismo si $L$ es un $R$ -módulo.

Answer 2

Aaron y yo hemos hablado hoy y se nos ha ocurrido una respuesta parcial.

Para simplificar, dejemos que $T$ denotan $R \otimes_k S$ . La conjunción tensor-Hom (en una versión que permite el cambio de anillos) nos dice que $$\begin{align*} \operatorname{Hom}_T(L \otimes_k S, M \otimes_k S) & = \operatorname{Hom}_T(L \otimes_R T, M \otimes_k S) \\ & = \operatorname{Hom}_R(L, \operatorname{Hom}_T(T, M \otimes_k S)) \\ & = \operatorname{Hom}_R(L, M \otimes_k S). \end{align*}$$ Ahora, llegamos a una hipótesis necesaria para todo el razonamiento restante: A saber, suponemos que $S$ es gratuito como $k$ -módulo. (Esto es automáticamente cierto si $k$ es un campo). Así, considerando $S$ como $k$ -escribimos $$S = \bigoplus_i k,$$ donde $i$ abarca un conjunto de indexación $I$ . Entonces, tenemos $$ \operatorname{Hom}_R(L, M) \otimes_k S = \bigoplus_i \operatorname{Hom}_R(L, M) $$ mientras que $$ \operatorname{Hom}_R(L, M \otimes_k S) = \operatorname{Hom}_R(L, \bigoplus_i M). $$ Si $L$ está finitamente generada como $R$ -o si la suma directa es finita, entonces estos dos son naturalmente isomorfos. Así pues, las hipótesis suficientes para garantizar un isomorfismo son que $S$ es libre en $k$ y o bien ( $L$ está finitamente generada sobre $R$ ) o ( $S$ es finito sobre $k$ ).

Por otra parte, si $L$ no está finitamente generado, entonces el mapa natural no necesita ser suryectivo. Por ejemplo, si $L = \bigoplus_{j=1}^{\infty} R e_j$ , $M = R$ y $i$ se extiende sobre los números enteros, entonces tenemos $$\begin{align*} L & \to \bigoplus_i M e_i \\ e_j & \mapsto e_1 + \dotsb + e_j, \end{align*}$$ un morfismo que no procede de $\bigoplus_i \operatorname{Hom}_R(L, M)$ . En este caso, el mapa es no un isomorfismo.