Teorema $:$ Dejemos que $\mathcal A$ sea un álgebra de subconjuntos de un conjunto no vacío $X.$ Dejemos que $\mu : \mathcal A \longrightarrow [0, + \infty]$ sea una función de conjunto finitamente aditiva con $\mu (\varnothing) = 0.$ Entonces $\mu$ es contablemente aditivo si y sólo si se cumple la siguiente condición $:$
Para cualquier $A \in \mathcal A$ $$\mu (A) = \lim\limits_{n \to \infty} \mu (A_n)$$ siempre que exista una secuencia $\{A_n \}_{n \geq 1}$ en $\mathcal A$ con $A_n \subseteq A_{n+1},$ $\forall$ $n \geq 1$ tal que $A = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n.$
Prueba $:$ Supongamos que $\mu$ es contablemente aditivo. Ahora tomemos cualquier $A \in \mathcal A$ y una secuencia $\{A_n \}_{n \geq 1}$ en $\mathcal A$ con $A_n \subseteq A_{n+1},$ $\forall$ $n \geq 1$ tal que $A = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n.$ Definir $B_1 := A_1$ y $B_n : = A_n \setminus \bigcup\limits_{i=1}^{n-1} A_i,$ $\forall$ $n \gt 1.$ Entonces la secuencia $\{B_n \}_{n \geq 1}$ tiene la propiedad de que $B_n \cap B_m = \varnothing$ para $n \neq m$ y $\bigcup\limits_{n = 1}^{k} B_n = \bigcup\limits_{n=1}^{k} A_n,$ por cada $k \geq 1.$ Por lo tanto, tomando el límite como $n \to \infty$ se deduce que $A = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} B_n.$ Desde $B_n$ son disjuntos por pares, se deduce de la aditividad contable y de la aditividad finita de $\mu$ que \begin{align*} \mu (A) & = \mu \left (\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} B_n \right ) \\ & = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \mu (B_n) \\ & = \lim\limits_{k \to \infty} \sum\limits_{n=1}^{k} \mu (B_n) \\ & = \lim\limits_{k \to \infty} \mu \left (\bigcup\limits_{n=1}^{k} B_n \right ) \\ & = \lim\limits_{k \to \infty} \mu \left ( \bigcup\limits_{n=1}^{k} A_n \right ) \\ & = \lim\limits_{k \to \infty} \mu (A_k). \end{align*} La última igualdad se desprende del hecho de que $A_n \subseteq A_{n+1},$ $\forall$ $n \geq 1.$ Esto demuestra una parte del teorema.
Para demostrar lo contrario, supongamos que la condición dada se cumple. Tomemos ahora una secuencia $\{A_n \}_{n \geq 1}$ en $\mathcal A$ tal que $A_n \cap A_m = \varnothing,$ para $n \neq m.$ Dejemos que $A = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal A.$ Definamos $B_n : = \bigcup\limits_{k=1}^{n} B_k,$ $\forall$ $n \geq 1.$ Entonces la secuencia $\{B_n \}_{n \geq 1}$ tiene la propiedad de que $B_n \subseteq B_{n+1},$ $\forall$ $n \geq 1$ y $A = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} B_n.$ Así que por la condición dada y la aditividad finita de $\mu$ se deduce que \begin{align*} \mu(A) & = \lim\limits_{n \to \infty} \mu (B_n) \\ & = \lim\limits_{n \to \infty} \mu \left ( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right ) \\ & = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \mu (A_k) \\ & = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \mu (A_k). \end{align*}
Esto demuestra la parte inversa del teorema y así se completa la demostración.
En toda la prueba he entendido todo menos el hecho de que donde han utilizado el hecho de que $\mu (\varnothing) = 0.$ ¿Podría alguien ayudarme en este sentido?
Muchas gracias por su valioso tiempo de lectura.
