Integral compleja con respecto a la longitud del arco

Question

El ejercicio consiste en demostrar que para $0<\rho\neq|\alpha|$ ,

$$\int_{|z|=\rho}{\frac{|dz|}{|z-\alpha|^2}} = \frac{2\pi\rho}{|\rho^2-|\alpha|^2|}$$

Intenté hacer una sustitución donde $z=\rho e^{it}$ , $t$ va de $0$ a $2\pi$ y esto lleva a la integral $\int_0^{2\pi}\frac{\rho}{\rho ^2 + |\alpha|^2 -2\rho Re(\bar{\alpha}e^{it})}dt$ . Pero eso es algo engorroso de resolver, si es que se puede resolver.

¿Hay una forma más sencilla? Se parece a la fórmula integral de Cauchy, pero la $|dz|$ no me permite usarlo directamente.

Answer 1

En el círculo $\lvert z\rvert = \rho$ con la parametrización $z = \rho e^{it}$ tenemos

$$\lvert dz\rvert = \rho\,dt = \rho\, \frac{dz}{iz}.$$

Así que se puede escribir la integral como

$$\rho\int_{\lvert z\rvert = \rho} \frac{dz}{iz(z-\alpha)(\overline{z} - \overline{\alpha})}.$$

Esto se puede transformar en una forma en la que el teorema del residuo es aplicable observando $\lvert z\rvert^2 = \rho^2$ en el círculo.