Campos de cocientes

Question

Si R es un dominio integral, demuestre que el campo de cocientes Q es el campo más pequeño que contiene a R en el siguiente sentido: Si R es un subconjunto de F, donde F es un campo, demuestre que F tiene un subcampo K tal que R es un subconjunto de K y K es isomorfo a Q.

Tengo problemas para interpretar esta pregunta. Mi entendimiento es que asumimos que R es un subconjunto de F, queremos demostrar que existe K que es un subcampo de F tal que R es un subconjunto de K y K es isomorfo a Q. Eso significa que queremos demostrar que K es un subcampo de F. ¿Estoy en lo cierto? Si estoy en lo cierto, entonces cómo demostrar que K es un subcampo de F. ¿Tengo que demostrar primero que K es un subring, y luego demostrar que K es un campo?

Answer 1

Pista: Supongamos que $R\subseteq F$ . Entonces, para todo lo que no sea cero $x\in R$ , $x\in U(F)=F\setminus\{0\}$ . Por lo tanto, piense en el campo generado por el siguiente subconjunto de $K$ : $\{xy^{-1}\,\vert\,x\in R, y\in R\setminus\{0\}\}$ . ¿Puedes encontrar un isomorfismo de este campo a $Q$ ?