Compactación compensada y leyes de conservación

Question

Estoy tratando de entender la compacidad compensada. Soy nuevo en este campo. Tengo las siguientes dudas para empezar

1) He leído muchos libros en los que se ha escrito de diferentes maneras. ¿Qué es la compacidad compensada? ¿Es el nombre de un teorema particular o es un término general utilizado para un tipo de resultado de compacidad?

2) ¿Cómo ayuda a comprender las leyes de conservación?

3) ¿Existe algún libro/notas que explique brevemente la compacidad compensada que sea lo suficientemente buena para entender las leyes de conservación?

4)He leído que

"Si $(u^n_1, u^n_2,....u^n_k) \rightarrow(u_1, u_2,....u_k)$ et $(v^n_1, v^n_2,....v^n_k) \rightarrow(v_1, v_2,....v_k)$ débilmente en $L^2$ . De tal manera que $\operatorname{div}\textbf{u^n}$ et $\operatorname{curl} \textbf{v^n}$ están acotados en $L^2$ entonces $\sum_{i=1}^k u^n_iv^n_i \rightarrow \sum_{i=1}^k u_iv_i$ en el sentido de la distribución"

¿Este resultado se llama compacidad compesada? Si es así, ¿por qué el nombre de compacidad compensada? ¿Qué compensamos aquí?

Gracias

Answer 1

Hace mucho tiempo que utilicé este método, por lo que tal vez cometa algún error. Según recuerdo, la compacidad compensada es el método analítico funcional que se utiliza principalmente para la resolución de sistemas escalares y 2x2 de leyes de conservación (más detalles se encuentran en los libros indicados más abajo).

Estos días utilizo mucho el método de la viscosidad evanescente, así que trataré de explicar el papel de la compacidad compensada en uno de los problemas en los que estaba trabajando: Digamos que tienes dos sistemas de leyes de conservación:

El sistema original:

$$u_t + f(u)_x =0 \hspace{1cm} (1)$$

Y el sistema de aproximación:

$$u_t^{\epsilon} + f(u^{\epsilon})_x =\epsilon u^{\epsilon}_{xx} \hspace{1cm} (2)$$

Queremos demostrar que la solución de $(2)$ converge a la solución de $(1)$ es decir $u^{\epsilon} \rightarrow u$ débilmente, cuando $\epsilon \rightarrow 0$ (este sería el método de la viscosidad evanescente). Establecer esta convergencia no es trivial.

Este límite débil $u$ realmente proporciona una solución distributiva al sistema $(1)$ . La prueba se basa en un argumento de compacidad compensada - basado en la representación del límite débil en términos de medidas de Young...

Las referencias en la literatura que me ayudaron hace tiempo con el método de la compacidad compensada son:

D. Serre, Sistemas de leyes de conservación 2, 2000 - Capítulo 9

C. Dafermos, Hyperbolic conservation laws in continuum physics, $3^{rd}$ edición, 2010 - Capítulo 16

R.J. DiPerna, Convergencia de soluciones aproximadas a las leyes de conservación, 1983 - Sección 3

L.C. Evans, Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations, 1990 - Sección 5