La respuesta de Lubos es correcta: la información no es un observable, por lo que no tiene fluctuaciones en el sentido de que pueda entrar en una relación de incertidumbre. Sin embargo, sí existe una relación entre la "información" y el principio de incertidumbre, aunque no del tipo que parece esperar el PO.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que la "conservación de la información" nunca podría ser una explicación del principio de incertidumbre. La información es no una cantidad conservada en la mecánica cuántica, ya que las mediciones forman parte del formalismo. Las mediciones, por definición, producen un cambio discontinuo en el contenido de información de un sistema con respecto a un observador. Es importante recordar que, a pesar de su actual estatus de moda como paradigma para entender la física, la información sigue sin ser una propiedad física de un sistema. Es más bien una propiedad de la relación entre un observador y un sistema. La única sutileza es que la mecánica cuántica impone una restricción fundamental a la cantidad de información que puede obtener cualquier observador.
Para entender cómo hacer que esta restricción sea cuantitativa, tendrás que aprender un poco de teoría de estimación cuántica. No voy a derivarlo todo aquí; puedes encontrar detalles en revisiones como, por ejemplo, este documento . La idea básica es que si se quiere estimar algún parámetro $\lambda$ de la que depende un estado, que puede ser o no un "observable" en el sentido tradicional, su precisión estará limitada por la Límite de Cramer-Rao : $$\mathrm{Var}(\lambda) \geq \frac{1}{M F(\lambda)},$$ donde $\mathrm{Var}(\lambda)$ es la varianza de la distribución de los resultados de la medición, $M$ es el número de mediciones y $F(\lambda)$ es la llamada información de Fisher. Se trata de un resultado de la teoría clásica de la información.
Dado un sistema y un parámetro a estimar, la información de Fisher depende generalmente de la elección de las medidas. En el caso cuántico, se puede hacer aún más y demostrar que la información de Fisher está limitada desde arriba por la Información de Quantum Fisher $H(\lambda)$ por lo que el límite cuántico de Cramer-Rao es $$\mathrm{Var}(\lambda) \geq \frac{1}{M H(\lambda)}.$$ La información cuántica de Fisher da el límite superior absoluto de la cantidad de información que un observador puede obtener sobre el parámetro $\lambda$ midiendo el sistema. Es la información de Fisher correspondiente a la base de medición óptima.
¿Qué relación tiene esto con el principio de incertidumbre? Especializar en el caso particular de un sistema en estado puro, donde la dependencia de los parámetros se produce por la transformación unitaria $$ |\psi(\lambda)\rangle = U_{\lambda}|\psi(0)\rangle,$$ donde $$U_{\lambda} = e^{-\mathrm{i} \lambda G}, $$ et $G$ es el generador hermitiano de la transformación unitaria. Esto incluye escenarios como la incertidumbre de energía-tiempo, donde $G = \hat{H}$ es el hamiltoniano (generador de traslaciones temporales) y $\lambda = t$ es el tiempo de espera tras la preparación inicial del estado $|\psi(0)\rangle$ (Yo puse $\hbar = 1$ ). Entonces se puede derivar la siguiente desigualdad a partir del límite cuántico de Cramer-Rao: $$ \mathrm{Var}(\lambda) \langle \psi(0)| G^2 |\psi(0)\rangle \geq \frac{1}{4 M}, $$ que es exactamente una relación de incertidumbre. Tenga en cuenta que este ejemplo es ligeramente artificial: las relaciones de incertidumbre son más generales que este escenario. Sin embargo, esperamos que este ejemplo le dé una idea de cómo las relaciones de incertidumbre pueden vincularse a los conceptos de la teoría de la información. (También muestra que las relaciones de incertidumbre en el tiempo de la energía no requieren un montón de agitación para derivar, como algunas personas parecen creer).
Otra conexión sutil que vale la pena mencionar es un hecho muy profundo sobre la mecánica cuántica: "la ganancia de información implica perturbación". Esto significa que es imposible ganar información sobre un sistema sin perturbarlo. Cuanta más información se obtiene, mayor es la perturbación. Véase este documento para más información. Si se toma la compensación entre información y perturbación como un principio fundamental para la mecánica cuántica, como en este documento reciente Entonces tienes una forma heurística de entender el origen físico del principio de incertidumbre.
