Bourbaki ejercicio en conjuntos conectados

Question

Este es el Ejercicio I. 11.4 de Bourbaki la Topología General.

Deje $X$ relacionada con el espacio.

a) Deje $A$ ser conectado a un subconjunto de $X$, $B$ un subconjunto de a $\complement A$ que es a la vez abierto y cerrado en $\complement A$. Mostrar que $A\cup B$ está conectado.

b) Vamos a $A$ ser conectado a un subconjunto de a $X$ $B$ un componente del conjunto de $\complement A$. Mostrar que $\complement B$ está conectado (use)).

Me las he arreglado para mostrar una).

Mis intentos para demostrar b): Vamos a $C$ ser un vacío clopen subconjunto de $\complement B$. Por una), $B\cup C$ está conectado. Desde $B$ es un componente de $\complement A$, $B\cup C$ no puede ser un subconjunto de a $\complement A$. Por lo $C$ tiene que contener un elemento de $A$. Desde $A$ está conectado, $A\subset C$. Pero estoy atascado aquí. Yo no puedo ver cómo esto implica $C=\complement B$.

Puede que alguien me apunte en la dirección correcta?

Answer 1

Supongamos $B^{c} = U \cup V$ $U,V$ discontinuas y abierto. A continuación, $U$ $V$ también están cerradas y si ellos no son vacíos, que ambos deben contener $A$ por su argumento, por lo que no puede ser distinto.