Siendo el $n^{th}$ persona que saque una moneda de una bolsa con diferentes monedas

Question

Hay una bolsa que contiene 20 monedas de plata y 10 de oro. Eres la sexta persona de la fila que saca al azar una moneda de la bolsa y se la queda.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que saques una moneda de oro?

b) Si sacas una moneda de oro, ¿cuál es la probabilidad de que las cinco personas que están por delante de de ti hayan sacado monedas de plata?

¿Cómo contabilizo la reducción de monedas de cada sorteo cuando puede ser una moneda de oro o de plata? Normalmente, podría simplemente reducir la probabilidad de una colección de monedas mediante la reducción de uno, pero ya que soy la sexta persona que línea cómo sé lo que el número de monedas de oro y plata será?

La probabilidad de que la primera persona saque un oro es (1/3) y de que saque una plata es (2/3), pero cómo influye esto en el sorteo de la segunda persona. Dependiendo de lo que haya sacado la primera persona (que se desconoce), la segunda persona tendrá diferentes probabilidades para las monedas de oro y de plata, pero ¿cómo tengo en cuenta eso y continúo esa cadena hasta la sexta persona (yo)?

Answer 1

Para (a), es una distracción irrelevante pensar en la secuencia de sorteos que le preceden. Su moneda tiene un $10$ en $30$ oportunidad de ser oro. Si necesitas convencerte, resuélvelo para la segunda persona en lugar de la sexta. Para la segunda persona, la probabilidad de sacar oro es $$\frac{20}{30}\cdot\frac{10}{29}+\frac{10}{30}\cdot\frac{9}{29}=\frac{10}{30}\left(\frac{20}{29}+\frac{9}{29}\right)=\frac{10}{30}$$ No está claro si está pidiendo ayuda con (b). Pero puede utilizar $$\DeclareMathOperator{\P}{P}\P(\text{first five silver}\mid\text{sixth gold})=\frac{\P(\text{first five silver and sixth gold})}{\P(\text{sixth gold})}$$ donde el denominador es tu respuesta a (a) y el numerador es algo que puedes calcular multiplicando una secuencia de fracciones.