Por qué punto de base hace una gran diferencia?

Question

Mientras que la preparación de una charla, tuve la tentación de "probar" la siguiente relación:

$$\text{Prin}_{G}(X)\cong [X,BG]\cong [B[\pi_{1}(X),BG]\cong [\Omega B[\pi_{1}(X)],\Omega BG]\cong [\pi_{1}(X),G]$$

Aquí $X$ es un 2 dimensiones de la superficie.

El segundo y tercer equivalencia es correcta, pero el cuarto o quinto que está mal. El profesor me dijo que tengo que pensar en mí mismo para entender por qué la base de bucle espacio no se comportan en la forma en que pensé que lo haría, pero no tengo ni idea. Por ejemplo, si $G=\mathbb{S}^{1}$, $BG\cong \mathbb{Z}$ y el homotopy clases de mapas de $X$ $\mathbb{Z}$es isomorfo a $\mathbb{Z}$ para cualquier superficie cerrada. Pero sería ridículo si $[\pi_{1}(X),\mathbb{Z}]$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ cualquier $X$. Por lo tanto, algo sutil está aquí y quiero pedir una sugerencia (no es solución).

Answer 1

Yo intento dar una respuesta a la dirección de mi propia confusión.

Hay dos confusiones. Uno es el homotopy clase de mapas de $X\cong B(\pi_{1}(X))$ $BG$no se comporta bien bajo se basa bucle de espacios. Para cualquier mapa de $f\rightarrow X$, la composición con un mapa de $X$ $BG$tierra a cualquier parte. Por lo tanto, no tiene ningún sentido hablar de la aplicación de loopspace operador en ambos lados.

La otra confusión, como otros señalado es igualmente esencial. Yo confundido $B\mathbb{S}^{1}$$\mathbb{Z}$, que debe ser $\mathbb{CP}^{\infty}$ lugar. El hecho de que $[X,\mathbb{CP}^{\infty}]$ $\mathbb{Z}$ es todavía cierto, porque en este caso $\text{Prin}_{\mathbb{S}^{1}}[X]\cong H^{2}(X)=\mathbb{Z}$ el uso de Cech cohomology. Así que el hecho de que $\mathbb{Z}\not=\mathbb{Z}^{2g}$ dar un ejemplo de por qué los de arriba "equivalencia" no se puede sostener. Sin embargo, no me siento cómodo en la afirmación de $$\text{Prin}_{\mathbb{S}^{1}}[X]\cong H^{2}(X)=\mathbb{Z}$$ como he leído la prueba, pero no sé por qué intuitivamente que debe ser cierto. Así que si alguien puede señalar lo que yo estaría agradecido.