Norma del álgebra de grupo en $C^*_r(G)$

Question

Hay algo que me está fastidiando, pensaba que la norma del operador del anillo del grupo dentro del $C^*_r(G)$ era el mismo que el de $l^2$ norma pero esto parece no ser cierto, claramente el $l^2$ es menor que la norma del operador evaluando por la función que es uno en la identidad y 0 en el resto. Me acabo de dar cuenta de que esto no puede ser el caso para que las normas sean las mismas ya que la definición de grupo RD dada en el artículo de Josillaint a continuación no sería interesante.

https://www.jstor.org/stable/2001458?seq=1#metadata_info_tab_contents

¿podría alguien darme un ejemplo de por qué esto no es cierto? Siento que me falta algo.

Answer 1

Supongamos que $g\in G$ es un elemento de torsión no trivial, y sea $n>1$ sea el menor número tal que $g^n=1$ . Entonces el elemento $p=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}g^k$ de $\mathbb CG$ es una proyección (es decir $p^2=p=p^*$ ), por lo que $\|p\|_{op}=1$ . Pero podemos calcular directamente que $\|p\|_2=\frac{1}{\sqrt n}$ por lo que las dos normas no son iguales (en general).

Si en cambio $G$ es libre de torsión, y $g\neq1$ entonces tenemos $$\|1+g\|_2^2=2<\sqrt 6=\|(1+g^{-1})(1+g)\|_2\leq\|(1+g^{-1})(1+g)\|_{op}=\|1+g\|_{op}^2.$$